<?php
include('function.php');
hlavicka('Matematická čítanka');
include('navigationA23.html');
?>

<div class="item2">
    <h2>2. Riešenia úloh</h2>

    <section>
        <ol start="5">
            <li>
                <p>
                    Riešenie prémiovej úlohy zasielajte autorovi na adresu +421905332034@orangemail.sk
                </p>
            </li>

            <li>
                <p>
                    Kľúčom k riešeniu úlohy je výpočet obsahu trojuholníka $\bf{BYX}$. Pretože priamka $\bf{KL}$ je
                    výsledkom otočenia $\bf{AB}$ o uhol $\bf{\alpha}$, uhol $\bf{BXY}$ má veľkosť $\bf{\alpha}$ a uhol
                    $\bf{KYC}$ a teda aj $\bf{BYL}$ majú veľkosť $\bf{k = \alpha + 60°}$. Z trojuholníka $\bf{BLS}$ sme
                    dostali $\bf{\frac{|BL|}{2} = r \cdot \sin \biggl ( \frac{a}{2} \biggr )}$.
                </p>
                <div class="center2"><img src="photo/p45.png" alt="obrazky"></div>

                <p>
                    Z rovnoramenného trojuholníka $\bf{BLY}$ sme vypočítali:
                    $\bf{|BY| = \frac{r \cdot \sin \biggl( \frac{\alpha}{2} \biggr )}{\sin \biggl ( \frac{a}{2} + 30°
                    \biggr )}}$. Zo sínusovej vety pre trojuholník $\bf{BYX}$ sme určili

                    $$\bf{|XY| = |BY|\frac{\sin 60°}{\sin\alpha} = \frac{r \cdot \sin \biggl ( \frac{a}{2} \biggr )
                    \frac{\sqrt{3}}{2}}{sin \biggl ( \frac{\alpha}{2} + 30° \biggr ) \sin\alpha}}$$
                </p>

                <p>
                    Potom sme vyjadrili obsah $\bf{T(\alpha)}$ trojuholníka $\bf{BYX}$.

                    $$\bf{T(\alpha) = \frac{|BY||XY|\sin(120° - \alpha)}{2} = \frac{\sqrt 3 r^2}{4} \frac{\Biggl [ \sin
                    \biggl ( \frac{\alpha}{2} \biggr ) \Biggr ]^2 \sin(120° - \alpha)}{\Biggl [ \sin \biggl (
                    \frac{\alpha}{2} + 30° \biggr ) \Biggr ]^2 \sin \alpha}}$$

                    Prienik trojuholníkov $\bf{P(\alpha)}$ má obsah $\bf{P_{ABC} - 3 \cdot T(\alpha), P_{ABC} =
                    \frac{3 \sqrt3 r^2}{4}}$. Preto pre hľadaný pomer obsahov $\bf{Q(\alpha)}$ platí:

                    $$\bf{Q(\alpha) = \bbox[yellow, 5px]{1 - \frac{\Biggl [ \sin \biggl ( \frac{\alpha}{2} \biggr )
                    \Biggr ]^2 sin(120° - \alpha)}{\Biggl [ \sin \biggl (\frac{\alpha}{2} + 30° \biggr ) \Biggr ]^2
                    \sin\alpha}}, \alpha \in (0°; 120°)}$$ Pozrite si G09
                    <b><sup><dfn title="Nezúfajte, ak ste úlohu nevyriešili. Autorovi trvalo riešenie 5 hodín.">[1]</dfn>
                        </sup></b>.

                    <details class="detail"><summary class="summary"><b>G09</b></summary><br>
                        <div class="center2" id="zpw9y9s9">

                        </div>
                    </details>

            </li>

            <li>
                <p>
                    Vyjadrenie pomocou premnnej $\bf{k \in (0; 1)}$ a parametrov $\bf{a, b, d, v_a, v_b:}$

                    $$\bf{
                    s(k) = |AM| + |MB| = \sqrt{k^2 d^2 + a^2} + \sqrt{(1 - k)^2 d^2 + b^2}}$$
                    $$\bf{t(k) = \frac{\sqrt{k^2d^2 + a^2}}{v_a} + \frac{\sqrt{(1 - k)^2 d^2 + b^2}}{v_b}}$$
                    $$\bf{\frac{\sin\alpha}{\sin\beta} = \frac{k \cdot \sqrt{(1 - k)^2d^2 + b^2}}{(1 - k) \cdot \
                    sqrt{k^2d^2 + a^2}}
                    }$$
                <div class="center2"><img src="photo/p41.png" alt="obrazky"></div>
                </p>


            </li>

            <li>
                <p>
                    Hľadaná rovnica má tvar: $\bf{\frac{13 880}{x - 1.5} + \frac{15 143}{x} + \frac{16 710}{x + 0.5} =
                    5000}$, kde $\bf{x}$ je cena plynu v roku $\bf{2003}$.
                </p>
            </li>
        </ol>


    </section>

    <div class="pagination">
        <a href="A23_1.php">&laquo;</a>
        <a href="A23_1.php">1</a>
        <a  class="active" href="A23_2.php">2</a>
        <a  href="A23_3.php">3</a>
        <a href="A23_4.php">4</a>


        <a href="A23_3.php">&raquo;</a>
    </div>

</div>
</div>
<script>
    parameters={"material_id":"zpw9y9s9", "width":"1400", "height":"600"};
    var applet1 = new GGBApplet(parameters, '5.0', views);

    parameters={"material_id":"gzsefwhx","width":"1400", "height":"600"};
    var applet2 = new GGBApplet(parameters, '5.0', views);

    window.onload = function() {
        applet1.inject('zpw9y9s9');
        applet2.inject('gzsefwhx');
    };

</script>

</body>
<?php
include('footer.html')
?>
</html>
