<?php
include('function.php');
hlavicka('Matematická čítanka');
include('navigationA36.html');
?>

<div class="item2">
    <h2>3. Riešenia úloh</h2>


    <section>
        <h3>Úlohy z kapitoly 3.5</h3>
        <ol>
            <li>
                <p>
                    <details class="detail">
                        <summary class="summary"><b>Pozrite si Cabri výkres Priemery.</b></summary><br>
                        <div class="center2" id="utgfcsce">
                        </div></details>

                    \begin{array}{|c|c|}\hline
                    \text{Funkcia:} & \bf{y = x} & \bf{y = x^2} & \bf{y = \frac{1}{x}} & \bf{y=2^x}\\\hline
                    \text{f – priemer z čísel}\; \bf{u,v} & \bf{\frac{u+v}{2}} & \bf{\frac{\frac{u+v}{2}+\sqrt{uv}}{2}}&
                    \bf{\frac{2}{\frac{1}{u}+\frac{1}{v}}} & \bf{\sqrt{uv}}\\\hline
                    \end{array}
                </p>

            </li>

            <li>
                <p>
                    <ol type="a">
                        <li>
                <p>
                    Zrejme $\bf{\forall a,b \in R^+ : (\sqrt{a}-\sqrt{b})^2 \geq 0 \Rightarrow a-2\sqrt{ab} + b
                    \geq 0 \iff \frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}}$, pričom rovnosť nastáva práve vtedy,
                    keď $\bf{a = b}$.
                </p>
            </li>

            <li>
                <p>
                    Ak $\bf{\forall a,b \in R^+: \frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}}$ z toho po vynásobení
                    oboch strán výrazom $\bf{\frac{2\sqrt{ab}}{a+b}}$ dostávame $\bf{\sqrt{ab} \geq \frac{2ab}{a+b}}$
                    a po vykrátení zlomku výrazom $\bf{ab}$ máme: $\bf{\sqrt{ab} \geq \frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}}$
                </p>
            </li>
        </ol>

        <li>
            <p>
                Zrejme $\bf{\forall u,v \in R: u^2+uv+v^2 \geq 0 (+)}$. (Lebo $\bf{(+) \iff (u + v)^2
                + u^2 + v^2 \geq 0}$, čo je zrejmé.)
            </p>

            <p>
                $$\text{Ak}\;\bf{a + b + c = 1 \Rightarrow}$$
                $$\text{existujú také reálne čísla} \;\bf{u,v} \; \text{, že}$$
                $$
                \bf{a=\frac{1}{3}+u, \; b=\frac{1}{3}+v,\; c=\frac{1}{3}-u-v}$$
                $$\bf{\Rightarrow ab +bc + ca =
                (\frac{1}{3}+u)(\frac{1}{3}+v)+(\frac{1}{3}+v)(\frac{1}{3}-u-v)+(\frac{1}{3}-u-v)(\frac{1}{3}+u)=}$$
                $$\bf{= \bbox[yellow, 3px]{\frac{1}{3}-(u^2+uv+v^2)}}$$ čo je vďaka $\bf{(+)}$ iste menšie alebo rovné ako jedna tretina.
            </p>
        </li>

        <li>

            <p>
                \begin{align}
                &\bf{\forall a_1,a_2,b_1,b_2 \in R: (a_1b_2-a_2-b_1)^2 \geq 0 \Rightarrow 2a_1b_2a_2b_1 \leq a_1^2b_2^2+a_2^2b_1^2\Rightarrow}\\
                &\bf{\Rightarrow a_1^2b_1^2 + 2a_1b_1a_2b_2 + a_2^2b_2^2 \leq a_1^2b_1^2 + a_1^2b_2^2 + a_2^2b_1^2 + a_2^2b_2^2 \Rightarrow}\\
                &\bf{\Rightarrow (a_1b_1 + a_2b_2)^2 \leq (a_1^2+a_2^2) \cdot (b_1^2+b_2^2)} \; \text{čo sme mali dokázať.}
                \end{align}

            </p>
        </li>

        <li>
            <p>
                $\bf{x+ \sqrt{x^2 -p} \geq p \iff \sqrt{x^2-p}\geq p-x} \qquad (^*)$. Nerovnicu s parametrom
                môžeme chápať ako nerovnicu s dvomi premennými  $\bf{x, p}$. Vo výkrese Nerovnica 1 sme
                vyšrafovali definičný obor tyrkysovou farbou.
                <details class="detail">
                    <summary class="summary"><b>Nerovnica 1</b></summary><br>
                    <div class="center2" id="">pracuje sa na tom
                    </div></details>
                Ak $\bf{p – x \lt 0}$, tak $(^*)$ zrejme platí,
                preto sme túto časť definičného oboru vyšrafovali červenou farbou. V polrovine $\bf{p – x \geq  0 (^{**})}$
                je úprava umocnením ekvivalentná a dostávame $\bf{2px \geq p(p – 1)}$. Časti definičného oboru
                spĺňajúce $(^{**})$ a poslednú podmienku sú vyšrafované zeleno (pre $\bf{p \gt 0}$), resp. modro
                pre $\bf{p \lt 0}$.
            </p>
        </li>

        <li>
            <p>

                <details class="detail">
                    <summary class="summary"><b>Pozrite si Nerovnice 2a.</b></summary><br>
                    <div class="center2" id="dtshwcrb">
                    </div></details>
            </p>

            <p>
                Pre $\bf{p \gt 0}$ máme $\bf{x(x+\frac{p+1}{p})\geq 0, \; x \in (-\infty ; \; - \frac{p+1}{p})\cup \langle 0;\; \infty)}$
            </p>

            <p>
                Pre $\bf{p = 0}$ máme $\bf{x \geq 0}$
            </p>

            <p>
                Pre $\bf{-1 \leq p \lt 0}$ máme $\bf{x(x+\frac{p+1}{p})\leq 0, \; x \in \langle 0; \; -\frac{p+1}{p}\rangle}$
            </p>

            <p>
                Pre $\bf{p \lt -1}$ máme $\bf{x(x+\frac{p+1}{p})\leq 0, \; x \in \langle-\frac{p+1}{p}; \; 0\rangle }$
            </p>
        </li>

        </ol>


    </section>

    <div class="pagination">
        <a href="A36_4.php">&laquo;</a>
        <a href="A36_1.php">1</a>
        <a   href="A36_2.php">2</a>
        <a   href="A36_3.php">3</a>
        <a  href="A36_4.php">4</a>
        <a class="active"  href="A36_5.php">5</a>


        <a href="A36_1.php">&raquo;</a>
    </div>

</div>
</div>
<script>
    parameters={"material_id":"utgfcsce", "width":"1400", "height":"600"};
    var applet1 = new GGBApplet(parameters, '5.0', views);

    //parameters={"material_id":"dhn8eseg","width":"1400", "height":"600"};
    //var applet2 = new GGBApplet(parameters, '5.0', views);

    parameters={"material_id":"dtshwcrb","width":"1400", "height":"600"};
    var applet3 = new GGBApplet(parameters, '5.0', views);



    window.onload = function() {
        applet1.inject('utgfcsce');
        //applet2.inject('cakasa');
        applet3.inject('dtshwcrb');

    };

</script>

</body>
<?php
include('footer.html')
?>
</html>
