<?php
include('function.php');
hlavicka('Matematická čítanka');
include('navigationA35.html');
?>

<div class="item2">
    <h2>3.5 Nerovnosti a nerovnice</h2>


    <section>



        <div class="priklad">
            <h3>Príklad 1.</h3>

            <p>
                Na prijímacej skúške z matematiky robili uchádzačom problémy tieto dve otázky:
            </p>

            <ol>
                <li>
                    <p>
                        V jachtárskej súťaži čln pána Juraja pri plavbe od štartu k otočke mal priemernú rýchlosť 32 km/hod. a pri
                        plavbe späť 18 km/hod. Jeho priemerná rýchlosť počas celej plavby bola približne:
                    </p>

                    <p><b>A &nbsp; 25 km/h &emsp; B &nbsp; 24 km/h &emsp; C &nbsp; 23 km/h &emsp; D &nbsp; 22 km/h</b>  </p>
                </li>

                <li>
                    <p>
                        "Indiánsky beh" je striedanie chôdze a behu. Matej absolvoval trasu preteku tak, že beh a chôdzu
                        striedal vždy po minúte, Andrej striedal beh a chôdzu vždy po 200 metroch. Obaja bežali priemernou
                        rýchlosťou 18 km/hod. a kráčali rýchlosťou 6 km/hod. Kto bol vpredu po štyridsiatich minútach
                        a o koľko metrov?
                    </p>
                </li>
            </ol>

            <p>
                Na 1. otázku bola najčastejšia odpoveď <b>A</b> a na 2. otázku väčšina uchádzačov neodpovedala. Nájdime správne
                odpovede na obe otázky.
            </p>

            <p>
                Ak označíme dĺžku trate od štartu k otočke ako $\pmb{d}$, rýchlosť tam ako $\pmb{v_1}$ a rýchlosť späť
                $\pmb{v_2}$ pre celkový čas platí:

                $$\pmb{t = \frac{d}{v_1} + \frac{d}{v_2}}$$

                <ol>
            <p>
                a priemerná rýchlosť bude
            </p>
            </ol>

            $$\pmb{\overline{v} = \frac{2d}{t} = \frac{2d}{\frac{d}{v_1}+ \frac{d}{v_2}}
            = \frac{2}{\frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2}}}$$

            </p>

            <p>
                V našom prípade je priemerná rýchlosť <b>23.04 km/h</b> a preto správna odpoveď je <b>C</b>.
            </p>

            <p>
                V 2. úlohe najprv spočítame priemerné rýchlosti oboch pretekárov. Matej šiel <b>čas</b> $\pmb{t}$ rýchlosťou
                $\pmb{v_1}$ a <b>čas</b> $\pmb{t}$ rýchlosťou $\pmb{v_2}$. Preto za čas $\pmb{2t}$ prešiel dráhu
                $\pmb{d = t \cdot v_1 + t \cdot v_2}$ a jeho priemerná rýchlosť bola $\pmb{\overline{v}
                = \frac{t \cdot v_1 + t \cdot v_2}{2t} = \frac{v_1 + v_2}{2}}$, v našom konkrétnom prípade <b>12 km/h</b>.
            </p>

            <p>
                Andrej prešiel dráhu $\pmb{d}$ rýchlosťou $\pmb{v_2}$. Preto podľa úvahy z predchádzajúcej úlohy je jeho
                priemerná rýchlosť $\pmb{\overline{v} = \frac{2}{\frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2}}}$, v našom prípade
                <b>9 km/h</b>.
            </p>

            <p>Preto po dvoch tretinách hodiny bol vpredu Matej o <b>2 km</b>.</p>
        </div>

        <br>
        <div class="priklad">
            <h3>Príklad 2.</h3>

            <p>
                Matej a Michal boli na začiatku 1. ročníka rovnako vysokí. Matej narástol za 1. rok o 8% a 2. rok o 4% svojej
                výšky. Michal narástol každý rok o rovnaké percento svojej výšky a po dvoch rokoch bol rovnako vysoký ako Matej.
                O koľko % ročne narástol Michal?
            </p>

            <p>
                Zväčšiť veličinu $\pmb{h}$ o $\pmb{p\%}$ znamená ju vynásobiť číslom $\pmb{q = 1 + \frac{p}{100}}$. Preto
                Matejove a Michalove výšky boli:

                $$\begin{array}
                {|c|c|}
                \hline & Na \: začiatku & Po \: 1. \: roku & Po \: 2. \: roku\\
                \hline Matej & h & h\cdot q_1 & h \cdot q_1 \cdot q_2\\
                \hline Michal & h & h\cdot q & h \cdot q^2\\
                \hline
                \end{array}$$
            </p>

            <p>
                Z toho dostávame rovnicu $\pmb{q^2 = q_1 \cdot q_2}$ alebo $\pmb{q = \sqrt{q_1 \cdot q_2}}$.
            </p>

            <p>
                V našom prípade Michalov ročný rast je približne <b>1.0598113</b> čiže menej ako <b>6% ročne</b>.
            </p>
        </div>

        <p>
            V skúmaných príkladoch sme mali 3 druhy „priemerov“.
            \begin{align}
            \bf{\bar{v} = \frac{v_1+v_2}{2} \qquad (AP)} & \bf{\bar{q} = \sqrt{q_1 \cdot q_2} \qquad (GP)}
            & \bf{\bar{v} = \frac{2}{\frac{1}{v_1}+\frac{1}{v_2}} \qquad (HP)}
            \end{align}
        </p>

        <p>
            Voláme ich <b>aritmetický priemer, geometrický priemer a harmonický priemer</b>.
            Pozrite si zošit Priemery a vyslovte hypotézu o veľkosti jednotlivých priemerov.
            Uvedené priemery je možné počítať aj z ľubovoľného počtu (kladných) čísel. Ak označíme:
            \begin{align}
            \bf{A(x_i)= \frac{\sum_{i=1}^{i=n}}{n}} & & \bf{G(x_i)= \sqrt[n]{\prod^{i=n}_{i=1}x_i}}
            & & \bf{H(x_i)= \frac{n}{\sum^{i=n}_{i=1}\frac{1}{x_i}}}
            \end{align}
        </p>

        <p>
            Tak pre ľubovoľné prirodzené číslo $n$ a ľubovoľné kladné čísla  $\bf{x_i ( i = 0}$ až $\bf{i = n)}$ platí:
            $$\bf{\bbox[yellow, 3px]{H(x_i) \leq G(x_i) \leq A(x_i)} \qquad (^*) }$$

            <details class="detail">
                <summary class="summary"><b>(Pozrite si 1. hárok zošitu Priemery.)</b></summary><br>
                <div class="center2">
                    <iframe scrolling="no" title="A3.16a" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/hutzztzb/width/944/height/500/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="944px" height="500px" style="border:0px;"> </iframe>                           </div></details>
        </p>



    </section>

    <div class="pagination">
        <a href="A35_3.php">&laquo;</a>
        <a class="active" href="A35_1.php">1</a>
        <a href="A35_2.php">2</a>
        <a  href="A35_3.php">3</a>



        <a href="A35_2.php">&raquo;</a>
    </div>

</div>
</div>
<script>
    parameters={"material_id":"ch48w9gu", "width":"1400", "height":"600"};
    var applet1 = new GGBApplet(parameters, '5.0', views);

    parameters={"material_id":"gzsefwhx","width":"1400", "height":"600"};
    var applet2 = new GGBApplet(parameters, '5.0', views);

    window.onload = function() {
        applet1.inject('ch48w9gu');
        applet2.inject('gzsefwhx');
    };

</script>

</body>
<?php
include('footer.html')
?>
</html>
