<?php
include('function.php');
hlavicka('Matematická čítanka');
include('navigationA15.html');
?>

<div class="item2">
    <h2>1. Riešenia úloh</h2>

    <section>
        <h3>Úlohy z kapitoly 1.1</h3>
        <ol>
            <li>
                <p><details class="detail">
                        <summary class="summary"><b>Riešenie je v U01</b></summary><br>
                        <div class="center2">
                            <iframe scrolling="no" title="A1 04 excel" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/sb4gj5m8/width/1280/height/609/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="1280px" height="609px" style="border:0px;"> </iframe>
                        </div> </details></p>
            </li>

            <p><li>Zrejme platí, že: $\bf{b^q \leq n \lt b^{q + 1} \Rightarrow q \leq log_b n \lt q + 1}$, preto ak $\bf{p(n;b)}$
                je počet cifier čísla $\bf{n}$ v pozičnej číselnej sústave so základom $\bf{b}$, tak $\bf{p(n;b)
                = Integer(log_bn) + 1}$. (${\forall x \in R, k \in Z: k = Integer(x) \iff k \leq x < k + 1}$)</li></p>

            <p><li>Pretože $\bf{\frac{b^10 - 1}{b - 1} = b^9 + b^8 + b^7 + b^6 + b^5 + b^4 + b^3 + b^2 + b^1 + b^0}$,
                tak v pozičnej číselnej sústave so základom $\bf{b}$ má zápis $\bf{1111111111}$</li></p>

            <p><li>$\bf{1 + b^2 + b^4 + b^6 + b^8}$ <b>v číselnej sústave:</b>
                    <ol type="a">
            <p><li>
                so základom $\bf{b^2}$ má zápis $\bf{11111}$
            </li></p>

            <p><li>so základom $\bf{b}$ má zápis $\bf{101010101}$</li></p>
        </ol>
        </li></p>

        <p><li>Kontrola: $\bf{(0000011111 \times 0111)_2 = 31 \times 7 = 217 = 128 + 64 + 16 + 8 + 1 = (11011001)_2}$
        </li></p>

        <li>
            <p><details class="detail">
                    <summary class="summary"><b>Riešenie</b></summary><br>
                    <div class="center2">
                        <iframe scrolling="no" title="A1.05e" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/us2hqvx9/width/1400/height/937/border/888888/sfsb/true/smb/true/stb/true/stbh/true/ai/true/asb/true/sri/true/rc/true/ld/true/sdz/true/ctl/true" width="1400px" height="937px" style="border:0px;"> </iframe>
                    </div> </details></p>
        </li>

        <li>
            <p><details class="detail">
                    <summary class="summary"><b>Riešenie</b></summary><br>
                    <div class="center2">
                        <iframe scrolling="no" title="A1.07 b" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/db5dumzk/width/1400/height/600/border/888888/sfsb/true/smb/true/stb/true/stbh/true/ai/true/asb/true/sri/true/rc/true/ld/true/sdz/true/ctl/true" width="1400px" height="600px" style="border:0px;"> </iframe>
                    </div> </details></p>
        </li>

        <li><p>Ako môžete vidieť v 1. hárku zošitu Hypotéza, $\bf{10^2 + 11^2 = 221 = 13.17}$,
                čiže hypotéza je nepravdivá.</p>
            <p><details class="detail">
                    <summary class="summary"><b>1. hárok zošitu Hypotéza</b></summary><br>
                    <div class="center2">
                        <iframe scrolling="no" title="A1.08 a" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/qeumv7rf/width/1400/height/600/border/888888/sfsb/true/smb/true/stb/true/stbh/true/ai/true/asb/true/sri/true/rc/true/ld/true/sdz/true/ctl/true" width="1400px" height="600px" style="border:0px;"> </iframe>
                    </div> </details></p>
        </li>


        <li><p>Ako môžete vidieť v 2. hárku zošitu Hypotéza, výraz $\bf{f(n) = n ^2 - 79n + 1601}$ pre $\bf{n = 80}$
                má hodnotu $\bf{1681 = 41^2}$, teda nie je prvočíslom.</p>

            <p><details class="detail">
                    <summary class="summary"><b>2. hárok zošitu Hypotéza</b></summary><br>
                    <div class="center2">
                        <iframe scrolling="no" title="A1.08 b" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/pbbuj4ey/width/1400/height/600/border/888888/sfsb/true/smb/true/stb/true/stbh/true/ai/true/asb/true/sri/true/rc/true/ld/true/sdz/true/ctl/true" width="1400px" height="600px" style="border:0px;"> </iframe>
                    </div> </details></p>
        </li>


        <li><p>V zošite Hádanie prvočísel sú v stĺpci A nepárne čísla do 1000, v bunke Bi je číslo 1, ak je číslo n
                deliteľné číslom Ai. V bunke D507 je súčet stĺpca B. Odpoveď je zložené číslo, ak je tento súčet aspoň 2.
            </p>

            <p><details class="detail">
                    <summary class="summary"><b>Hádanie prvočísel</b></summary><br>
                    <div class="center2">
                        <iframe scrolling="no" title="A1.09" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/apdsqqaj/width/1000/height/600/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="1000px" height="600px" style="border:0px;"> </iframe>
                    </div> </details></p>

        </li>

        <p><li>-</li></p>

        <li><p>Ak $\bf{a = a^* \cdot k, b = b^* \cdot k}$ a čísla $\bf{a^*, b^*}$ sú nesúdeliteľné,
                tak $\bf{NSD(a,b) = k}$. Preto $\bf{nsn(a,b) = a \cdot b / NDS(a, b)}$.
                To sme použili v 2. hárku zošitu Euklid.</p>

            <p><details class="detail">
                    <summary class="summary"><b>2. hárok zošitu Euklid</b></summary><br>
                    <div class="center2">
                        <iframe scrolling="no" title="A1.11 b" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/jhu7ysux/width/1400/height/600/border/888888/sfsb/true/smb/true/stb/true/stbh/true/ai/true/asb/true/sri/true/rc/true/ld/true/sdz/true/ctl/true" width="1400px" height="600px" style="border:0px;"> </iframe>
                    </div> </details></p>

        </li>


        <li><p>Univerzálny spôsob je rozložiť každé číslo na súčin prvočiniteľov. Iný spôsob hľadania n.s.n je
                naznačený v 3. hárku zošitu Euklid.
            </p>

            <p><details class="detail">
                    <summary class="summary"><b>3. hárok zošitu Euklid</b></summary><br>
                    <div class="center2">
                        <iframe scrolling="no" title="A1.11c" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/w4pueyuq/width/1400/height/600/border/888888/sfsb/true/smb/true/stb/true/stbh/true/ai/true/asb/true/sri/true/rc/true/ld/true/sdz/true/ctl/true" width="1400px" height="600px" style="border:0px;"> </iframe>
                    </div> </details></p>

        </li>


        <p><li>Snaha nájsť takú Pytagorejskú trojku $\bf{(a, b, c)}$ aby trojica čísel $\bf{(b, c, d)}$ bola tiež
            Pytagorejská nevedie k úspechu. Toto je úloha, ktorá má ilustrovať hranice možností experimentu.
            "Experimentovaním možno nájsť riešenie (ak existuje!), ale nemožno ukázať, že riešenie neexistuje"
            <sup><dfn title='Citát je od M. Hejného z knihy Štefan Znám a kol.: "Pohľad do dejín matematiky".'>[1]
                </dfn></sup>.
            Pokúsme sa teda dokázať neexistenciu riešenia. Ak by také trojice existovali, potom:
            $\bf{a^2 + b^2 = c^2, b^2 + c^2 = d^2 \Rightarrow a^2 + 2b^2 = d^2 \Rightarrow}$
            <mark style="background-color: yellow"> $\bf{2b^2 = (d - a)(d + a)}$</mark> $\bf{\Rightarrow}$ čísla
            $\bf{a, d}$ majú rovnakú paritu. Pre jednoduchosť nech sú párne, teda $\bf{a = 2a^*, d = 2d^* \Rightarrow
            2b^2 = (2d^* - 2a^*)(2d^* + 2a^*) = 4(d^* - a^*)(d^* + a^*) \Rightarrow b^2 = 2(d^* - a^*)(d^* + a^*), b^2}$
            je párne $\bf{\Rightarrow b}$, je párne, $\bf{b = 2b^* \Rightarrow 4(b^*)^2 = 2(d^* - a^*)(d^* + a^*)
            \Rightarrow}$  <mark style="background-color: yellow"> $\bf{2(b^*)^2 = (d^* - a^*)(d^* + a^*)}$</mark>.
            Práve sme ukázali, že ak by existovalo riešenie, existovalo by aj ešte "menšie" riešenie. Keby sme takto
            postupovali ďalej, tak vzhľadom na konečnú veľkosť "prvého" riešenia by sme sa po konečnom počte krokov dostali
            k sporu s tým, že $\bf{a, b, c, d}$ sú celé čísla
            <sup><dfn title='Táto metóda dôkazu sa volá metóda "nekonečného regresu".'>[2]
                </dfn></sup>. Táto úloha má čitateľa upozorniť, že experiment, zmyslové poznávanie je vždy potrebné
            kombinovať s rozumovou úvahou.</li></p>

        <li>
            <p>
                Z obrázku je zrejmé, že riešením sú trojice $(3, 4, 5), (4, 3, 5)$.
            <div class="center2"><img src="photo/p32.png" alt="obrazky"></div>
            </p>
        </li>

        <li>
            <p>
                Máme dokázať: $\bf{\forall \, n \in \mathbb{N} : 7 / 2^{n+1} + 3^{2n-1}}$.<br>
                Označme $\bf{2^{k+1} + 3^{2k -1} = V(k)}$. Potom $\bf{V(k + 1) = 2^{k+2} + 3^{2k + 1}}$.<br>
                Zrejme $\bf{V(k + 1) - V(k) = 2^{k+1} + 8 \cdot 3^{2k-1} = V(k) + 7 \cdot 3^{2k-1}}$. <br>
                Teda platí: $\bf{V(k + 1) = 2 \cdot V(k) + 7 \cdot 3^{2k-1}}$. <br>
                Teda ak $\bf{7 / V(k) \Rightarrow 7 / V(k + 1)}$ a keďže $\bf{7 / V(1)}$, je dôkaz ukončený.
            </p>
        </li>

        <li>
            <p><b>-</b></p>
        </li>

        <li>
            <p>
                V zošite Experiment sú v stĺpci $\bf{C}$ hodnoty výrazu $\bf{\sum_{k=1}^n k(k + 1)}$ pre $\bf{k}$ do
                $\bf{20}$. V stĺpci $D$ sú rozdiely (diferencie) týchto hodnôt, v stĺpci $E$ diferencie z diferencií
                (druhé diferencie) a v stĺpci $E$ tretie diferencie. Zdravý rozum hovorí, že náš výraz bude polynómom
                3.stupňa premennej $n$. Akou konkrétnou, to si môžete dokončiť po prečítaní kapitoly 3.2.</p>

            <p><details class="detail">
                    <summary class="summary"><b>Experiment</b></summary><br>
                    <div class="center2">
                        <iframe scrolling="no" title="A1.23" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/jfjvg5cf/width/944/height/916/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="944px" height="916px" style="border:0px;"> </iframe>
                    </div> </details></p>

        </li>

        <li>
            <p>
                Tvrdenie: $\bf{\forall \, n \in \mathbb{N}, \, \forall \, p > - 1 : (1 + p)^n \geq 1 + n \cdot p}$ je
                pre $\bf{n = 1}$ zrejme pravdivé. Nech pre $\bf{n = k}$ tvrdenie platí, t.j. $\bf{(1 + p)^k \geq 1 +
                k \cdot p}$ prenásobením kladným číslom $\bf{1 + p}$ dostávame $\bf{(1 + p)^{k+1} \geq 1 + (k + 1) \cdot
                p + kp^2 > 1 + (k + 1) \cdot p}$. Teda tvrdenie platí aj pre $\bf{n = k + 1}$.
            </p>
        </li>
        </ol>

    </section>

    <div class="pagination">
        <a href="A15_3.php">&laquo;</a>
        <a class="active" href="A15_1.php">1</a>
        <a href="A15_2.php">2</a>
        <a  href="A15_3.php">3</a>

        <a href="A15_2.php">&raquo;</a>
    </div>

</div>
</div>
<script>
    parameters={"material_id":"ch48w9gu", "width":"1400", "height":"600"};
    var applet1 = new GGBApplet(parameters, '5.0', views);

    parameters={"material_id":"gzsefwhx","width":"1400", "height":"600"};
    var applet2 = new GGBApplet(parameters, '5.0', views);

    window.onload = function() {
        applet1.inject('ch48w9gu');
        applet2.inject('gzsefwhx');
    };

</script>

</body>
<?php
include('footer.html')
?>
</html>
