<?php
include('function.php');
hlavicka('Matematická čítanka');
include('navigationA23.html');
?>

<div class="item2">
    <h2>2. Riešenia úloh</h2>

    <section>

        <h3>Úlohy z kapitoly 2.2</h3>
        <div class="uloha">

            <ol>
                <li>
                    <p>


                        <details class="detail"><summary class="summary"><b>Pozrite si 2. hárok zošitu Horner.</b></summary><br>
                            <div class="center2">
                                <iframe scrolling="no" title="A2.02b" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/fvz5bf4n/width/944/height/600/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="944px" height="600px" style="border:0px;"> </iframe>

                            </div>
                        </details>
                    </p>
                </li>

                <li>
                    <p>
                        Čiastočné podiely pri delení $\bf{(2 \cdot x^7 + x^6 - 2 \cdot x^4 - x^3 + 2) : (x - x_0)}$ a zvyšky
                        sme umiestnili do ďalších dvoch stĺpcov tabuľky:

                        $$\begin{array}{|c|c|}
                        \hline\bf{x} & \cellcolor{cyan}\bf{2} & \cellcolor{cyan}\bf{1} & \cellcolor{cyan}\bf{0} &
                        \cellcolor{cyan}\bf{-2} & \cellcolor{cyan}\bf{-1} & \cellcolor{cyan}\bf{0} &
                        \cellcolor{cyan}\bf{0} & \cellcolor{cyan}\bf{2} & \cellcolor{cyan}podiel & \cellcolor{cyan}zvyšok \\
                        \hline\cellcolor{cyan} \bf{3} & \bf{2}& \bf{7}& \bf{21}& \bf{61}& \bf{182}& \bf{546}& \bf{1638}&
                        \cellcolor{yellow}\bf{4916}& \bf{2x^6 + 7x^5 + 21x^4 + 61x^3 + 182x^2 + 546x + 1638}& \bf{4916} \\
                        \hline\cellcolor{cyan} \bf{2} & \bf{2}& \bf{5}& \bf{10}& \bf{18}& \bf{35}& \bf{70}& \bf{140}&
                        \cellcolor{yellow}\bf{282}& \bf{2x^6 + 5x^5 + 10x^4 + 18x^3 + 35x^2 + 70x + 140}& \bf{140} \\
                        \hline\cellcolor{cyan} \bf{1} & \bf{2}& \bf{3}& \bf{3}& \bf{1}& \bf{0}& \bf{0}& \bf{0}&
                        \cellcolor{yellow}\bf{2}& \bf{2x^6 + 3x^5 + 3x^4 + x^3}& \bf{2} \\
                        \hline\cellcolor{cyan} \bf{0} & \bf{2}& \bf{1}& \bf{0}& \bf{-2}& \bf{-1}& \bf{0}& \bf{0}&
                        \cellcolor{yellow}\bf{2}& \bf{2x^6 + x^5 - 2x^3 - x^2}& \bf{2} \\

                        \hline\cellcolor{cyan} \bf{-1} & \bf{2}& \bf{-1}& \bf{1}& \bf{-3}& \bf{2}& \bf{-2}& \bf{2}&
                        \cellcolor{yellow}\bf{0}& \bf{2x^6 - x^5 + x^4 - 3x^3 + 2x^2 - 2x + 2}& \bf{0} \\

                        \hline\cellcolor{cyan} \bf{-2} & \bf{2}& \bf{-3}& \bf{6}& \bf{-14}& \bf{27}& \bf{-54}& \bf{108}&
                        \cellcolor{yellow}\bf{-214}& \bf{2x^6 - 3x^5 + 6x^4 - 14x^3 + 27x^2 - 54x + 108}& \bf{-214} \\

                        \hline\cellcolor{cyan} \bf{-3} & \bf{2}& \bf{-5}& \bf{15}& \bf{-47}& \bf{140}& \bf{-420}& \bf{1260}&
                        \cellcolor{yellow}\bf{-3778}& \bf{2x^6 - 5x^5 + 15x^4 - 47x^3 + 140x^2 - 420x + 1260}& \bf{-3778} \\
                        \hline


                        \end{array}$$
                    </p>

                    <p>
                        Hypotéza o vzťahu medzi delením mnohočlena výrazom $\bf{x - x_0}$ a výpočtom hodnoty mnohočlena v čísle
                        $\bf{x_0}$ podľa Hornerovej schémy je snáď zrejmá.
                    </p>
                </li>

                <li>
                    <p>
                        Možno ste postrehli, že EXCEL je "len" tabuľkový kalkulátor. Na takéto činnosti sú vhodnejšie
                        špecializované softvéry, napr. spomínaný DERIVE.
                    </p>
                </li>

                <li>
                    <p>
                        Delenca napíšeme v tvare polynómu s premennou $\bf{a}$ s parametrami $\bf{b, c}$:
                        $$\begin{array}{l}
                        \bf{(-a^4 + 2(b^2+c^2)a^2 -(b^2 - c^2)^2):(a + b + c) = - a^3 + (b+c)a^2 + (b-c)^2a-(b-c)^2(b+c)}\\
                        \bbox[red, 3px]{\bf{-a^4 - ba^3 - ca^3}}\\
                        \bf{+ba^3 + ca^3 + 2(b^2+c^2)a^2 - (b^2-c^2)^2}\\
                        \bbox[red, 3px]{\bf{+ ba^3 + ca^3 + (b+c)a^2b + (b+c)a^2c}}\\
                        \bf{(b-c)^2a^2 - (b^2-c^2)^2}\\
                        \bbox[red, 3px]{\bf{(b-c)^2a^2+(b-c)^2ab+(b-c)^2ac}}\\
                        \bf{-(b-c)^2(b+c)a-(b^2-c^2)^2}\\
                        \bbox[red, 3px]{\bf{-(b-c)^2(b+c)a-(b-c)^2(b+c)(b+c)}}\\
                        \bf{0}
                        \end{array}$$
                    </p>

                    <p>
                        Vidíme, že delenie skončilo bez zvyšku.
                    </p>
                </li>

                <li>
                    <p>
                        Nech $\bf{a_1, a_2, ... a_n}$ sú ľubovoľné kladné reálne čísla, $\bf{S}$ je ich súčet a
                        $\bf{P}$ je ich súčin. Nech napr. $\bf{a_1}$ je väčšie
                        ako aritmetický priemer čísel $\bf{a_1, a_2, ... a_n}$. Potom zrejme aspoň jedno zo zvyšných
                        čísel musí byť menšie od aritmetického priemeru. Nech je to napr. $\bf{a_2}$. Ak každé z
                        týchto dvoch čísel nahradíme číslom $\bf{a = \frac{a_1 + a_2}{2} }$ potom:
                        $$\bf{a_1 \cdot a_2 \lt \frac{a_1 + a_2}{2} \cdot \frac{a_1 + a2}{2} \iff 4 a_1 \cdot a_2 \lt
                        (a_1 + a_2)^2 \iff 0 \lt (a_1 - a_2)^2}, $$ čo je evidentne pravda.
                    </p>

                    <p>
                        Našli sme teda čísla $\bf{a, a, a_3, ... a_n}$ , ktorých súčet je opäť $\bf{S}$, ale ktorých
                        súčin je väčší ako $\bf{P}$. Táto úvaha nás oprávňuje
                        vysloviť tvrdenie, že súčin $n$ kladných čísel s daným súčtom $\bf{S}$ je najväčší vtedy,
                        keď sú všetky tieto čísla rovnaké. Potom ale očividne:
                        $$\bf{P = \biggl(\frac{s}{n}\biggr)^n \iff \sqrt[n]{P} = \frac{s}{n} }$$
                        Nerovnosť medzi harmonickým a geometrickým priemerom sa dá dokázať priamo.
                    </p>
                </li>

                <li>


                    $$\begin{aligned}
                    &\text{Zrejme}\;\bf{\forall a,b,c \in R: a^2(b - c)^2 + b^2(a-c)^2 + c^2(a - b)^2 \geq 0 \Rightarrow}\\
                    &\bf{\Rightarrow a^2(b^2-2bc+c^2) + b^2(a^2-2ac + c^2) + c^2(a^2-2ab+b^2) \geq 0 \Rightarrow}\\
                    &\bf{\Rightarrow 2a^2b^2 + 2b^2c^2 + 2c^2a^2 - 2a^2bc - 2ab^2c - 2abc^2 \geq 0 \Rightarrow}\\
                    &\bf{\Rightarrow a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2 - a^2bc - ab^2c - abc^2 \geq 0}
                    \end{aligned}$$

                </li>

            </ol>
        </div>
    </section>

    <div class="pagination">
        <a href="A23_2.php">&laquo;</a>
        <a href="A23_1.php">1</a>
        <a   href="A23_2.php">2</a>
        <a class="active" href="A23_3.php">3</a>
        <a href="A23_4.php">4</a>


        <a href="A23_4.php">&raquo;</a>
    </div>

</div>
</div>
<script>
    parameters={"material_id":"ch48w9gu", "width":"1400", "height":"600"};
    var applet1 = new GGBApplet(parameters, '5.0', views);

    parameters={"material_id":"gzsefwhx","width":"1400", "height":"600"};
    var applet2 = new GGBApplet(parameters, '5.0', views);

    window.onload = function() {
        applet1.inject('ch48w9gu');
        applet2.inject('gzsefwhx');
    };

</script>

</body>
<?php
include('footer.html')
?>
</html>
