<?php
include('function.php');
hlavicka('Matematická čítanka');
include('navigationA33.html');
?>

<div class="item2">
    <h2>3.3 Sústavy lineárnych rovníc trochu inak.
        <b><sup><dfn title="Táto kapitola je určená najmä pre učiteľov, ale pre žiakov nie je zakázaná.">[1]</dfn>
            </sup></b></h2>


    <section>
        <p><mark style="background-color:cyan">
                <b>Pozor, text písaný modrým písmom je určený len pre učiteľov, čitateľom ktorí nemajú 18 rokov je jeho čítanie prísne zakázané !</b>
            </mark></p>

        <div class="priklad" style="color:blue">
            <h3>Príklad 7.</h3>
            <p>
                Vyriešte sústavu lineárnych rovníc:
                $$\begin{array}{:c:c:}
                \hdashline\bf{3x_1} & \bf{+} & \bf{4x_2} & \bf{+} & \bf{x_3} & \bf{=} & \bf{6}\\
                \hdashline\bf{5x_1} & \bf{+} & \bf{2x_2} & \bf{+} & \bf{7x_3} & \bf{=} & \bf{4}\\
                \hdashline\bf{-2x_1} & \bf{+} & \bf{x_2} & \bf{-} & \bf{5x_3} & \bf{=} & \bf{2}\\\hdashline
                \end{array}$$
            </p>

            <h3>Riešenie:</h3>
            <p>
                Ak chceme sústavu vyriešiť analogicky ako predchádzajúci príklad, môžeme pred žiakmi zohrať
                pôsobivú scénku, resp. kúzelnícky výstup. Vedľa sústavy dopíšeme tri stĺpce „tajomných“ čísel:
                $$\begin{array}{:c:c:l:}
                \hdashline\bf{3x_1} & \bf{+} & \bf{4x_2} & \bf{+} & \bf{x_3} & \bf{=} & \bf{6} & & \bf{| \cdot (-17)} & & \bf{| \cdot 11} && \bf{| \cdot 9}\\ \hdashline
                \hdashline\bf{5x_1} & \bf{+} & \bf{2x_2} & \bf{+} & \bf{7x_3} & \bf{=} & \bf{4} & & \bf{| \cdot 21} & & \bf{| \cdot (-13)} && \bf{| \cdot (-11)}\\
                \hdashline\bf{-2x_1} & \bf{+} & \bf{x_2} & \bf{-} & \bf{5x_3} & \bf{=} & \bf{2} & & \bf{| \cdot 26} & & \bf{| \cdot (-16)} && \bf{| \cdot (-14)}\\\hdashline
                \end{array}$$
            </p>

            <p>
                Ak jednotlivé rovnice najprv vynásobíme číslami z 1. stĺpca a potom ich sčítame, potom ich vynásobíme
                číslami z 2. stĺpca a opäť ich sčítame a detto urobíme aj s 3. stĺpcom, postupne dostaneme:

                $$\begin{align}
                2x_1 = 34 && 2x_2 = -18 && 2x_3 = -18
                \end{align}$$

                čiže sústava má jediné riešenie $\bf{17; \; -9; \; -9}$
            </p>
        </div>

        <p style="color:blue">
            Ak pri riešení tohto príkladu podáme dobrý herecký výkon, tak žiakov dostatočne priaznivo naladíme
            na riešenie všeobecného príkladu:
        </p>

        <div class="priklad" style="color:blue">
            <h3>Príklad 8.</h3>
            <p>
                Rozhodnite za akých podmienok má nasledovná sústava rovníc jediné riešenie:
                $$\begin{array}{:c:c:l:}
                \hdashline\bf{a_{11}x_1 } & \bf{+} & \bf{a_{12}x_2} & \bf{+} & \bf{a_{13}x_3} & \bf{=} & \bf{b1} \\
                \hdashline\bf{a_{21}x_1 } & \bf{+} & \bf{a_{22}x_2} & \bf{+} & \bf{a_{23}x_3} & \bf{=} & \bf{b2} & & \bf{(3)} \\
                \hdashline\bf{a_{31}x_1 } & \bf{+} & \bf{a_{32}x_2} & \bf{+} & \bf{a_{33}x_3} & \bf{=} & \bf{b3} \\ \hdashline
                \end{array}$$
            </p>

            <h3>Riešenie:</h3>
            <p>
                Podobne ako v predchádzajúcom príklade, budeme rovnice násobiť <mark>vhodnými</mark> výrazmi

                $$\begin{array}{:c:c:l:}
                \hdashline\bf{a_{11}x_1} & \bf{+} & \bf{a_{12}x_2} & \bf{+} & \bf{a_{13}x_3} & \bf{=} & \bf{b_1} & & \bf{| \cdot (a_{22}a_{33}-a_{32}a_{23})} & & \bf{| \cdot (a_{21}a_{33}-a_{31}a_{23})} && \bf{| \cdot (a_{21}a_{32}-a_{31}a_{22})}\\
                \hdashline\bf{a_{21}x_1} & \bf{+} & \bf{a_{22}x_2} & \bf{+} & \bf{a_{23}x_3} & \bf{=} & \bf{b_2} & & \bf{| \cdot (a_{12}a_{33}-a_{32}a_{13})} & & \bf{| \cdot (a_{11}a_{33}-a_{31}a_{13})} && \bf{| \cdot (a_{11}a_{32}-a_{31}a_{12})}\\
                \hdashline\bf{a_{31}x_1} & \bf{+} & \bf{a_{32}x_2} & \bf{+} & \bf{a_{33}x_3} & \bf{=} & \bf{b_3} & & \bf{| \cdot (a_{12}a_{23}-a_{22}a_{13})} & & \bf{| \cdot (a_{11}a_{23}-a_{21}a_{13})} && \bf{| \cdot (a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12})}\\ \hdashline
                \end{array}$$

                najprv z prvého, potom z druhého a nakoniec z tretieho stĺpca a následne ich sčítame. Získame
                tak tri rovnice, ktoré budú ako koeficient pri neznámej obsahovať ten istý výraz i keď vždy v
                inej podobe:

                $$\begin{align}
                \bf{(a_{22}a_{33} - a_{32}a_{23}) \cdot a_{11} - (a_{12}a_{33}-a_{32}a_{13}) \cdot a_{21} + (a_{12}a_{23}-a_{22}a_{13}) \cdot a_{31}} && \bf{(4)}\\
                \bf{-(a_{21}a_{33} - a_{31}a_{23}) \cdot a_{12} + (a_{11}a_{33}-a_{31}a_{13}) \cdot a_{22} - (a_{11}a_{23}-a_{21}a_{13}) \cdot a_{32}}\\
                \bf{(a_{21}a_{32} - a_{31}a_{22}) \cdot a_{13} - (a_{11}a_{32}-a_{31}a_{12}) \cdot a_{23} + (a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12}) \cdot a_{33}}\\
                \end{align}$$
            </p>

            <p>
                Tento výraz, ktorý <b>determinuje</b> riešiteľnosť danej sústavy rovníc budeme opäť nazývať
                <b>determinant</b> sústavy a označovať symbolom $\bf{D}$, alebo
                $$\bf{D =
                \begin{array}{|c:c|}
                \hdashline a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ \hdashline
                a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ \hdashline
                a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ \hdashline
                \end{array}}
                $$
            </p>

            <p>
                Rovnice $(4)$ súčasne naznačujú ako vypočítať jeho hodnotu. Ak si podrobnejšie všimneme výrazy,
                ktorými sme násobili rovnice, vidíme, že sú to determinanty druhého stupňa (vždy s nejakým
                znamienkom):

                $$\begin{array}{:c:c:c:}\hdashline
                A_{11} =
                \begin{array}{|c:c|}
                a_{22} & a_{23}\\\hdashline
                a_{32} & a_{33}
                \end{array}

                & A_{12} =
                \begin{array}{|c:c|}
                a_{21} & a_{23}\\\hdashline
                a_{31} & a_{33}
                \end{array}

                & A_{13} =
                \begin{array}{|c:c|}
                a_{21} & a_{22}\\\hdashline
                a_{31} & a_{32}
                \end{array}
                \\\hdashline\\\hdashline

                A_{21} =
                \begin{array}{|c:c|}
                a_{12} & a_{13}\\\hdashline
                a_{32} & a_{33}
                \end{array}

                & A_{22} =
                \begin{array}{|c:c|}
                a_{11} & a_{13}\\\hdashline
                a_{31} & a_{31}
                \end{array}

                & A_{23} =
                \begin{array}{|c:c|}
                a_{11} & a_{12}\\\hdashline
                a_{31} & a_{32}
                \end{array}

                \\\hdashline\\\hdashline

                A_{31} =
                \begin{array}{|c:c|}
                a_{12} & a_{13}\\\hdashline
                a_{22} & a_{23}
                \end{array}

                & A_{32} =
                \begin{array}{|c:c|}
                a_{11} & a_{13}\\\hdashline
                a_{21} & a_{23}
                \end{array}

                & A_{33} =
                \begin{array}{|c:c|}
                a_{11} & a_{12}\\\hdashline
                a_{21} & a_{22}
                \end{array}
                \\\hdashline\end{array}$$
            </p>

            <p>
                značili sme ich prirodzeným spôsobom. Determinant $\bf{D_{ij}}$ dostaneme tak, že z pôvodného
                determinantu $\bf{D}$ sme vyškrtli $\bf{i-ty}$ riadok a $\bf{j-ty}$ stĺpec. Rovnice $(4)$ hovoria,
                že

                $$\bf{D = a_{11}A_{11} - a_{21}A_{21} + a_{31}A_{31} = -a_{12}A_{12} + a_{22}A_{22} - a_{32}A_{32} =
                a_{13}A_{13} - a_{23}A_{23} + a_{33}A_{33}}$$
            </p>

            <p>
                Ak by sme si všímali výrazy na pravých stranách, našli by sme tam determinanty:
                $$\begin{array}{:c:c:c:}\hdashline
                D_{1} =
                \begin{array}{|c:c|}
                b_1 & a_{12} & a_{13}\\\hdashline
                b_2 & a_{22} & a_{23}\\\hdashline
                b_3 & a_{32} & a_{31}
                \end{array}

                & D_{2} =
                \begin{array}{|c:c|}
                a_{11} &  b_1 & a_{13}\\\hdashline
                a_{21} &  b_2 & a_{23}\\\hdashline
                a_{31} &  b_3 & a_{31}
                \end{array}

                & D_{3} =
                \begin{array}{|c:c|}
                a_{11} & a_{12} & b_1\\\hdashline
                a_{21} & a_{22} & b_2\\\hdashline
                a_{31} & a_{32} & b_3
                \end{array}

                \\\hdashline\end{array}$$
            </p>

            <p>
                Záverom tohto príkladu môžeme konštatovať:
            </p>

            <p>
                Ak $\bf{D \neq 0}$, tak sústava $(3)$ má jediné riešenie $\bf{x_i = \frac{D_i}{D}}$
            </p>

        </div>

        <h3 ><mark style="color:blue">Poznámka:</mark></h3>
        <p style="color:blue">
            Myslím si, že aspoň pre časť žiakov môže byť tento text vhodným pre prvé stretnutie s pojmami determinant
            (a jeho rekurentná definícia) a Cramerovo pravidlo.
        </p>






    </section>
    <div class="pagination">
        <a href="A33_4.php">&laquo;</a>
        <a  href="A33_1.php">1</a>
        <a  href="A33_2.php">2</a>
        <a   href="A33_3.php">3</a>
        <a  href="A33_4.php">4</a>
        <a  class="active"  href="A33_5.php">5</a>
        <a   href="A33_6.php">6</a>


        <a href="A33_6.php">&raquo;</a>
    </div>

</div>
</div>
<script>
    parameters={"material_id":"ch48w9gu", "width":"1400", "height":"600"};
    var applet1 = new GGBApplet(parameters, '5.0', views);

    parameters={"material_id":"gzsefwhx","width":"1400", "height":"600"};
    var applet2 = new GGBApplet(parameters, '5.0', views);

    window.onload = function() {
        applet1.inject('ch48w9gu');
        applet2.inject('gzsefwhx');
    };

</script>

</body>
<?php
include('footer.html')
?>
</html>
