<?php
include('function.php');
hlavicka('Matematická čítanka');
include('navigationA55.html');
?>

<div class="item2">
    <h2>5.5 Riešenia úloh</h2>


    <section>
        <h3>Úlohy z kapitoly 5.1</h3>

        <ol>
            <li>
                <p>
                    $\pmb{a_n = a_0 \cdot q^n.}$
                </p>
            </li>

            <li>
                <p>
                    Vzorec explicitný aj rekurentný nájdete v zošite Trisekcia.

                </p>
            </li>

            <li>
                <p>
                    Hypotéza $\pmb{a_n = - \frac{2}{3} \cdot \bigl ( - \frac{1}{2} \bigr )^n + \frac{2}{3}}$ je zrejmá zo
                    zošitu Rekurencie 04. Pri dôkaze druhého kroku indukcie použijeme druhú podobu
                    <b><sup><dfn title="Pozri poznámku 14. na strane 12. kapitoly 1.1.">[1]</dfn></sup></b>
                    princípu matematickej indukcie. Podľa rekurentného vzťahu



                    $$\pmb{a_{k+1} = \frac{a_k + a_{k-1}}{2} = }$$

                <ol>(podľa indukčného predpokladu)</ol>
                $$\pmb{= \frac{- \frac{2}{3} \cdot \biggl ( - \frac{1}{2} \biggr )^k + \frac{2}{3} - \frac{2}{3} \biggl (
                - \frac{1}{2} \biggr )^{k-1} + \frac{2}{3}}{2} =}$$

                $$\pmb{= - \frac{2}{3} \biggl ( - \frac{1}{2} \biggr)^{k-1} \frac{1}{2} \Biggl [ \biggl ( - \frac{1}{2}
                \biggr ) + 1 \Biggr ] + \frac{2}{3} = }$$

                $$\pmb{= - \frac{2}{3} \biggl ( - \frac{1}{2} \biggr )^{k+1} + \frac{2}{3}}$$

                <ol>čo sme chceli dokázať.</ol>
                </p>
            </li>

            <li>
                <p>
                    Hypotéza $\pmb{c_n = - \frac{3}{4} \cdot \biggl ( - \frac{1}{3} \biggr )^n + \frac{3}{4}}$ je zrejmá
                    zo zošitu Rekurencie 05. Dôkaz bol podobný ako v predchádzajúcej úlohe.

                </p>
            </li>

            <li>
                <p>
                    Riešenie je v 2. hárku zošita Splátky. Ak použijete nástroj riešiteľ vyjde Vám približný ročný úrok
                    $\pmb{5.8\%}$.<b><sup><dfn title="Za predpokladu, že pri splácaní dlhu každý mesiac platí jednu
dvanástinu z ročného úroku z doteraz dlžnej čiastky.">[2]</dfn></sup></b>

                </p>
            </li>

            <li>
                <p>
                    Hypotéza $\pmb{b_n = - \frac{2}{5} \cdot \biggl (\frac{4}{9} \biggr )^n + \frac{2}{5}}$. Je zrejmá
                    z 2. hárku zošitu EXCEL. Dôkaz by bol podobný ako v úlohe 3.

                </p>
            </li>

            <li>
                <p>
                    Použijeme 3. hárok zošitu EXCEL, zvolíme si $\pmb{p = 0.9}$ a uvedomíme si, že $\pmb{a(n) = p - b(n)}$.
                    Dostaneme $\pmb{a(n) = \frac{10}{19} + \frac{9}{19} \cdot \biggl ( \frac{81}{100} \biggr )^n}$.

                </p>
            </li>

            <li>
                <p>
                    <b>-</b>
                </p>
            </li>

            <li>
                <p>
                    Vďaka experimentovaniu v zošite Pokusy máme:
                </p>

                <ul>
                    <li>
                        <p>
                            $\pmb{a_0 = 0, \: a_1 = 1, \: a_{n+2} = \frac{a_n + a_{n+1}}{2}}$.
                        </p>
                    </li>

                    <li>
                        <p>
                            $\pmb{a_1 = 1, \: a_{n+1} = a_n + \frac{1}{a_n} - \frac{1}{2}}$.
                        </p>
                    </li>

                    <li>
                        <p>
                            $\pmb{a_n = \frac{1}{n}}$.
                        </p>
                    </li>

                    <li>
                        <p>
                            $\pmb{a_1 = 1, \: a_{n+1} = a_n + \frac{1}{a_n}}$.
                        </p>
                    </li>

                    <li>
                        <p>
                            $\pmb{a_1 = - 1, \: a_2 = - 2, \: a_{n+2} = \frac{1}{a_n} + a_{n+1}}$.
                        </p>
                    </li>

                    <li>
                        <p>
                            $\pmb{a_1 = 1, \: a_{n+1} = \frac{a_n - 2 }{a_n + 1}}$.
                        </p>
                    </li>
                </ul>


            </li>
        </ol>
    </section>

    <div class="pagination">
        <a href="A55_1.php">&laquo;</a>
        <a class="active" href="A55_1.php">1</a>
        <!--<a href="A52_2.php">2</a>
        <a  href="A52_3.php">3</a>
         <a href="A52_4.php">4</a>
          <a  href="A52_5.php">5</a>
         <a  href="A52_6.php">6</a>
         <a   href="A52_7.php">7</a>-->

        <a href="A55_1.php">&raquo;</a>
    </div>

</div>
</div>


</body>
<?php
include('footer.html')
?>
</html>
