<?php
include('function.php');
hlavicka('Matematická čítanka');
include('navigationA36.html');
?>

<div class="item2">
    <h2>3. Riešenia úloh</h2>


    <section>
        <h3>Úlohy z kapitoly 3.4</h3>
        <ol>
            <li>
                <p>
                    Pre nezáporné $\bf{x}$ platí: $\bf{\frac{\sqrt{x}-1 }{\sqrt{x}+1} = \frac{a-1}{a+1} \Rightarrow
                    a\sqrt{x} + \sqrt{x} - a - 1 = a\sqrt{x}-\sqrt{x}+a-1 \Rightarrow \sqrt{x} = a }$
                </p>

                <p>
                    Preto pre nezáporné a existuje jediné riešenie $\bf{x = a^2}$ a pre záporné $\bf{a}$ riešenie
                    neexistuje.
                    <details class="detail">
                        <summary class="summary"><b>Pozrite si tiež výkres Parameter1.</b></summary><br>
                        <div class="center2" id="uhqmjbgb">
                        </div></details>

                </p>
            </li>

            <li>
                <p>
                    $\bf{x+\sqrt{x^2+2p^2} = 2p \Rightarrow \sqrt{x^2+2p^2} = 2p-x \bbox[red, 3px]{\Rightarrow} x^2+2p^2 =
                    4p^2 - 4px + x^2 \Rightarrow 2px = p^2}$.
                </p>

                <p>
                    Pre $\bf{p = 0}$ máme rovnicu $\bf{0\cdot x = 0}$, riešením sú všetky reálne čísla. Ale skúška
                    dáva $\bf{P = 0}$, kým $\bf{Ľ = x + |x|}$ čo sa rovná len pre $\bf{x \leq 0}$. Pre $\bf{p \neq 0}$
                    dostávame $\bf{x = \frac{p}{2}}$. Skúška dáva $\bf{Ľ=\frac{p}{2}+\sqrt{\frac{9p^2}{4}}= \frac{p}{2}+
                    \frac{3}{2}|p|,\; P = 2p }$, čo sa rovná len pre $\bf{p \gt 0}$.
                </p>
            </li>

            <li>
                <p>

                    <details class="detail">
                        <summary class="summary"><b>Pozrite si výkres Parameter2.</b></summary><br>
                        <div class="center2" id="nhuaq7qs">
                        </div></details>
                    Experiment vedie k hypotéze, že pre záporné $\bf{p}$ riešenie neexistuje,
                    pre $\bf{p = 0}$ sú riešením všetky $\bf{x \lt 0}$, pre $\bf{p \in (0;\;1)}$ riešenie neexistuje
                    a pre $\bf{p \gt 1}$ existuje vždy jedno riešenie. Skutočne $\bf{x + \sqrt{x^2-p}=p \iff
                    \sqrt{x^2-p}=p-x \;\bbox[red, 3px]{\iff}\; x^2-p=p^2-2px+x^2 \Rightarrow \bbox[yellow, 3px]{2px = p(p+1)}}$.
                    Pre $\bf{p = 0}$ máme rovnicu $\bf{0 \cdot x = 0}$, riešením by boli všetky reálne čísla.
                    Ale skúška dáva $\bf{Ľ = x + |x|,\; P = 0}$, čo sa rovná len pre $\bf{x \leq 0}$.
                </p>

                <p>
                    Pre $\bf{p \neq 0}$ dostávame $\bf{x = \frac{p+1}{2}}$. Skúška do $\bf{\sqrt{x^2-p}=p-x}$
                    dáva $\bf{Ľ = \sqrt{\frac{(p-1)^2}{4}}=\frac{|p-1|}{2},\; P=\frac{p-1}{2}}$, čo sa rovná len pre
                    $\bf{p \geq 1}$. Výsledky sú v zhode s našim experimentom.
                </p>
            </li>

            <li>
                <p>
                    $\bf{\sqrt{a-\sqrt{x^2+a^2}}=x \bbox[red, 3px]{\Rightarrow} a - x^2 = \sqrt{x^2+a^2} \Rightarrow
                    x^4-2ax^2+a^2=x^2+a^2 \Rightarrow x^4 = (2a+1)x^2}$.
                </p>

                <p>
                    Zdá sa, že číslo $\bf{x = 0}$ je koreňom pre každú hodnotu parametra, ale po skúške
                    $\bf{Ľ = \sqrt{a-|a|},\; P=0}$ vidíme, že to platí len pre $\bf{a \geq 0}$. Pre $\bf{x \neq 0}$
                    máme rovnicu $\bf{x^2=2a+1 \Rightarrow}$(pre $\bf{a \geq -0.5}$) $\bf{x = \sqrt{2a+1} }$.
                    Ale skúška dáva $\bf{Ľ = \sqrt{a-|a+1|}}$ čo nie je definované pre žiadne $a$.
                </p>
            </li>

        </ol>

    </section>

    <div class="pagination">
        <a href="A36_3.php">&laquo;</a>
        <a href="A36_1.php">1</a>
        <a   href="A36_2.php">2</a>
        <a   href="A36_3.php">3</a>
        <a class="active" href="A36_4.php">4</a>
        <a   href="A36_5.php">5</a>


        <a href="A36_5.php">&raquo;</a>
    </div>

</div>
</div>
<script>
    parameters={"material_id":"uhqmjbgb", "width":"1400", "height":"600"};
    var applet1 = new GGBApplet(parameters, '5.0', views);

    parameters={"material_id":"nhuaq7qs","width":"1400", "height":"600"};
    var applet2 = new GGBApplet(parameters, '5.0', views);

    window.onload = function() {
        applet1.inject('uhqmjbgb');
        applet2.inject('nhuaq7qs');

    };

</script>

</body>
<?php
include('footer.html')
?>
</html>
