<?php
include('function.php');
hlavicka('Matematická čítanka');
include('navigationA15.html');
?>

<div class="item2">
    <h2>1. Riešenia úloh</h2>

    <section>
        <h3>Úlohy z kapitoly 1.2</h3>

        <ol>
            <li>
                <p>
                    $\bf{\frac{1}{7} = (0. \overline {001})_2, \frac{1}{11} = (0. \overline {0001011101})_2,
                    \frac{1}{13} = (0. \overline {0001001110 \, 11}_2)}$ ostatné si musíte dopočítať sami.
                </p>
            </li>

            <li>
                <p>
                    Využívajúc Experiment 2 sme zistili: $\bf{\frac{1}{7} = 0. \overline{142857},
                    \frac{1}{17} = 0. \overline{0588235294 \, 117647}, \frac{1}{19} = 0. \overline{0526315789 \,
                    47368421}}$.


                </p>
                <p><details class="detail">
                        <summary class="summary"><b>Experiment 2</b></summary><br>
                        <div class="center2">
                            <iframe scrolling="no" title="A1.24" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/etnbgfky/width/1400/height/700/border/888888/sfsb/true/smb/true/stb/true/stbh/true/ai/true/asb/true/sri/true/rc/true/ld/true/sdz/true/ctl/true" width="1400px" height="700px" style="border:0px;"> </iframe>
                        </div> </details></p>
            </li>

            <li>
                <p>
                    Nech $\bf{x = (0. \overline{101100})_2}$, potom $\bf{64 \cdot x = (101100. \overline{101100})_2}$ a
                    $\bf{63 \cdot x = (101100)_2 = 44}$. Preto $\bf{\frac{44}{63}}$.
                </p>
            </li>

            <li>
                <p>
                    Je to dôsledok toho, že pri delení čísel $\bf{1, 2, 3, 4, 5, 6}$ sa tiež iba mení poradie cifier.
                    Pozri tiež Experiment 2.

                </p>
            </li>

            <li>
                <p>
                    Riešenie prémiovej úlohy zasielajte autorovi na adresu +421905332034@orangemail.sk
                </p>
            </li>

            <li>

                <p>
                    <details class="detail">
                        <summary class="summary"><b>Riešenie.</b></summary><br>
                        <div class="center2" id="ydkpxfdh"></div>
                    </details></p>

            </li>

            <li>
                <p>
                    <details class="detail">
                        <summary class="summary"><b>Riešenie.</b></summary><br>
                        <div class="center2" id="tjhve8xa"></div>
                    </details></p>
            </li>

            <li>
                <p>
                    Máme dokázať $\bf{\forall \, a, b \in \mathbb{R} \forall \, k, m \in \mathbb{N}:
                    (a^k)^m = a^{k \cdot m}}$.

                    <ul>
                        <li>
                <p>
                    1. podmienka hovorí, že rovnosť má platiť pre $\bf{k = 1}$ a $\bf{m = 1}$, čo zrejme platí.
                </p>
            </li>

            <li>
                <p>
                    2. podmienka hovorí, že ak naša rovnosť platí pre $\bf{k}$ a $\bf{m}$, tak platí aj pre
                    $\bf{k + 1}$ a $\bf{m: (a^{k+1})^m = }$ (podľa DN) $\bf{= (a^k \cdot a)^m = }$ (vďaka výsledku
                    príkladu 1.) $\bf{(a^k)^m \cdot a^m = }$ (podľa ind. predpokladu)
                    $\bf{= a^{k \cdot m} \cdot a^m = }$ (vďaka výsledku príkladu 1.)
                    $\bf{a^{k \cdot m + m} = a^{(k + 1) \cdot m2}}$ čo sme chceli dokázať.
                </p>
            </li>

            <li>
                <p>
                    3. podmienka hovorí, že ak naša rovnosť platí pre $\bf{k}$ a $\bf{m}$, tak platí aj pre
                    $\bf{k}$ a $\bf{m + 1}$ (túto časť dôkazu prenechávame láskavo na čitateľovi).
                </p>
            </li>
            </ul>
            </p>
            </li>

            <li style="mso-highlight: yellow">
                <p>
                    Dokážeme len $\bf{\forall \, a,b \in \mathbb{R}, a, b \neq 0 \: \forall \, k \in \mathbb{Z}:
                    (a \cdot b)^k = a^k \cdot b^k}$. Pre $\bf{k \neq 0}$ niet čo dokazovať, pre $\bf{k < 0}$ podľa <b>DZ</b>
                    máme: $\bf{(ab)^k = \frac{1}{(ab)^{-k}}}$ a keďže $\bf{-k > 0}$ podľa <b>VN</b> máme:

                    $$\bf{\frac{1}{(ab)^{-k}} = \frac{1}{a^{-k} b^{-k}} = \frac{1}{a^{-k}} \frac{1}{b^{-k}}}$$

                    čo sa podľa <b>DZ</b> rovná $\bf{a^k \cdot b^k}$.
                </p>
            </li>

            <li>
                <p>
                    Podľa experimentu v zošite Diofantos je to číslo $\bf{538}$.

                </p>

                <p><details class="detail">
                        <summary class="summary"><b>Diofantos</b></summary><br>
                        <div class="center2">
                            <iframe scrolling="no" title="A1.16" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/zqhs4skh/width/1400/height/700/border/888888/sfsb/true/smb/true/stb/true/stbh/true/ai/true/asb/true/sri/true/rc/true/ld/true/sdz/true/ctl/true" width="1400px" height="700px" style="border:0px;"> </iframe>
                        </div> </details></p>

            </li>

            <li>
                <p>
                    Číslo $\bf{100 + a}$ musí byť deliteľné číslom $\bf{6}$, preto $\bf{a = 2}$. Rovnica má po vykrátení
                    tvar $\bf{5x + 7y = 17}$. Dvojica $\bf{x = 2, y = 1}$ je očividne jej riešenie.
                </p>
            </li>
        </ol>
    </section>

    <div class="pagination">
        <a href="A15_1.php">&laquo;</a>
        <a  href="A15_1.php">1</a>
        <a class="active" href="A15_2.php">2</a>
        <a  href="A15_3.php">3</a>

        <a href="A15_3.php">&raquo;</a>
    </div>

</div>
</div>
<script>
    parameters={"material_id":"ydkpxfdh", "width":"1400", "height":"600"};
    var applet1 = new GGBApplet(parameters, '5.0', views);

    parameters={"material_id":"tjhve8xa","width":"1400", "height":"600"};
    var applet2 = new GGBApplet(parameters, '5.0', views);

    window.onload = function() {
        applet1.inject('ydkpxfdh');
        applet2.inject('tjhve8xa');
    };

</script>

</body>
<?php
include('footer.html')
?>
</html>
