<?php
include('function.php');
hlavicka('Matematická čítanka');
include('navigationA36.html');
?>

<div class="item2">
    <h2>3. Riešenia úloh</h2>


    <section>



        <h3>Úlohy z kapitoly 3.3</h3>

        <ol>
            <li>
                <ol type="a">
                    <li>
                        <p>
                            Kopírujúc úvahu z 1. príkladu dostávame $\bf{x = x_1 + (x_2-x_1)k,\; y = y_1+(y_2-y_1)k \qquad(^*)}$
                        </p>
                    </li>

                    <li>
                        <p>
                            Ak 1. rovnicu z $(^*)$ vynásobíme výrazom $\bf{(y_2-y_1)}$ a 2. rovnicu výrazom
                            $\bf{-(x_2-x_1)}$ a potom rovnice sčítame, dostaneme:
                            $\bf{(y_2-y_1)x-(x_2-x_1)y=(y_2-y_1)x_1-(x_2-x_1)y_1}$
                        </p>
                    </li>

                </ol>

            </li>

            <li>
                <p>
                    Dve také rovnice sú zrejme $\bf{x = -1,\; y = 2}$. Súčet ich násobkov:
                    $\bf{a\cdot x + b \cdot y = -a + 2b}$ 2.je zrejme tiež taká rovnica. Skúste
                    experimentovať vo výkrese Cabri 01.
                    <details class="detail">
                        <summary class="summary"><b>Cabri 01</b></summary><br>
                        <div class="center2" id="f8puaya6">
                        </div></details>
                </p>
            </li>

            <li>
                <p>
                    Ak existuje spoločné riešenie, musí platiť: $\bf{(3-2t;\;-7+3t)=(-5+4u;\;5-6u)
                    \iff} 3-2t = -5 + 4u \land -7 +3t = 5-6u \iff t + 2u =4$. Spoločné riešenia
                    existujú, každé riešenie sústavy (+) je aj riešením sústavy (++).
                </p>
            </li>

            <li>
                <p>
                    Ak existuje spoločné riešenie, musí platiť: $\bf{(3-2t;\;-7+3t)=(2+7u; 3-2u)
                    \iff 3-2t = 2 + 7u \land -7 +3t = 3-2u \iff u = -1 \land t = 4}$. Existuje
                    jediné spoločné riešenie $\bf{(-5 ; 5)}$.
                </p>

            </li>

            <li>
                <p>
                    Ak existuje spoločné riešenie, musí platiť:
                    $\bf{(3-2r + s; \; -7 + 3r +s;\; 3-2r+s) = (2+7u+3v;\;3-2u+2v;\;2+7u)\iff}$
                    \begin{array}{rr}
                    \bf{-2r} & \bf{+} & \bf{s} & \bf{-} & \bf{7u} & \bf{-} & \bf{3v} & \bf{=} & \bf{-1}\\
                    \bf{3r} & \bf{+} & \bf{s} & \bf{+} & \bf{2u} & \bf{-} & \bf{2v} & \bf{=} & \bf{10}\\
                    \bf{-2r} & \bf{+} & \bf{s} & \bf{-} & \bf{7u} &  &  & \bf{=} & \bf{-1}\\
                    \end{array}
                </p>

                <p>
                    Sústava má nekonečne mnoho riešení
                    <details class="detail">
                        <summary class="summary"><b>(pozri sústava)</b></summary><br>
                        <div class="center2">
                            <iframe scrolling="no" title="A3.20" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/qnqxdd56/width/944/height/916/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="944px" height="916px" style="border:0px;"> </iframe>
                        </div></details>

                    \begin{array}{:c:c:}
                    \hdashline\bf{r} && \bf{+1.8u} && \bf{=2.2,} & \bf{r = 2.2 - 1.8u} \\ \hdashline
                    & \bf{s} & \bf{-3.4u} && \bf{=3.4,} & \bf{s = 3.4 + 3.4u} \\ \hdashline
                    &&& \bf{v} & \bf{=0,} & \bf{u}\; \text{je ľubovoľné} \\ \hdashline

                    \end{array}
                </p>

                <p>
                    Ak dosadíme $\bf{v = 0}$ do $\bf{(2+7u + 3v; \; 3-2u;\;2+7u)}$ máme všetky
                    spoločné riešenia sústavy rovníc (+) a (++): $\bf{(2+7u;\;3-2u;\;2+7u)}$

                </p>
            </li>

            <li>
                <p>
                    Determinant sústavy je $\bf{a^2 - 18a + 17}$. Pre $\bf{a = 1}$, alebo
                    $\bf{a = 17}$ má hodnotu $\bf{0}$. Riešenie pre tieto hodnoty parametrov si
                    pozrite v zošite dve sústavy. Pre všetky ostatné hodnoty parametra majú obe
                    sústavy práve jedno riešenie:
                    $$\bf{\bigg(\frac{-16}{a-17};\; \frac{7a-23}{a-17};\;\frac{-16}{a-17}\bigg)}
                    \; \text{resp.} \; \bf{(0;\;7;\;0)}$$
                    <details class="detail">
                        <summary class="summary"><b>dve sústavy - 1. list</b></summary><br>
                        <div class="center2">
                            <iframe scrolling="no" title="A3.21a" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/r4j3mhtr/width/944/height/400/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="944px" height="400px" style="border:0px;"> </iframe>
                        </div></details>
                    <details class="detail">
                        <summary class="summary"><b>dve sústavy - 2. list</b></summary><br>
                        <div class="center2">
                            <iframe scrolling="no" title="A3.21b" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/u5wafhvm/width/944/height/916/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="944px" height="916px" style="border:0px;"> </iframe>
                        </div></details>
                </p>

            </li>

            <li>
                <p>
                    Determinant sústavy je $\bf{a^3 - 11a + 20}$. V 1. hárku zošitu Sústava2 sme
                    zistili, že jediný koreň rovnice $\bf{a^3 - 11a + 20=0}$ je $\bf{a = -4}$.
                    Riešenie sústavy pre túto hodnotu parametra nájdete v 2. hárku tohto zošitu.
                    Pre ostatné hodnoty parametra riešením sústavy rovníc je trojica:
                    $$\bf{\bigg(\frac{a-6}{2(a^2-4a+5)};\;\frac{-2a+3}{2(a^2-4a+5)};\;\frac{a-1}{a}\bigg) }$$
                    <details class="detail">
                        <summary class="summary"><b>1. hárok zošitu Sústava2</b></summary><br>
                        <div class="center2">
                            <iframe scrolling="no" title="A3.22a" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/xwpwxsbn/width/944/height/916/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="944px" height="916px" style="border:0px;"> </iframe>
                        </div></details>

                    <details class="detail">
                        <summary class="summary"><b>2. hárok zošitu Sústava2</b></summary><br>
                        <div class="center2">
                            <iframe scrolling="no" title="A3.22b" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/htxrsgmd/width/944/height/916/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="944px" height="916px" style="border:0px;"> </iframe>
                        </div></details>
                </p>

            </li>

            <li>
                <p>
                    Determinant sústavy je rovný nule pre každú hodnotu parametra. V zošite Sústava3
                    môžete sledovať, že pre každú hodnotu parametra má nekonečne veľa riešení.
                    Dopočítajte si to sami. (Rozlišujte prípady $\bf{a = 0.5}$ a $\bf{a \neq 0.5}$.
                    <details class="detail">
                        <summary class="summary"><b>1. hárok zošitu Sústava3</b></summary><br>
                        <div class="center2">
                            <iframe scrolling="no" title="A3.23a" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/xuv3fspb/width/944/height/400/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="944px" height="400px" style="border:0px;"> </iframe>
                        </div></details>

                    <details class="detail">
                        <summary class="summary"><b>2. hárok zošitu Sústava3</b></summary><br>
                        <div class="center2">
                            <iframe scrolling="no" title="A3.23b" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/qbqwtchw/width/944/height/916/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="944px" height="916px" style="border:0px;"> </iframe>
                        </div></details>
                </p>
            </li>
        </ol>


    </section>

    <div class="pagination">
        <a href="A36_2.php">&laquo;</a>
        <a href="A36_1.php">1</a>
        <a   href="A36_2.php">2</a>
        <a class="active"  href="A36_3.php">3</a>
        <a href="A36_4.php">4</a>
        <a   href="A36_5.php">5</a>


        <a href="A36_3.php">&raquo;</a>
    </div>

</div>
</div>
<script>
    parameters={"material_id":"f8puaya6", "width":"1400", "height":"600"};
    var applet1 = new GGBApplet(parameters, '5.0', views);


    window.onload = function() {
        applet1.inject('f8puaya6');

    };

</script>

</body>
<?php
include('footer.html')
?>
</html>
