MATEMATICKÁ ČÍTANKA

Príklad 1. Fermatov princíp

Chceme sa dostať čo najrýchlejšie z bodu $\pmb{A}$ do bodu $\pmb{B}$. Pritom naša rýchlosť v rovine ohraničenej priamkou $\pmb{x}$ s vnútorným bodom $\pmb{A}$ je $\pmb{v_a}$ a v opačnej polrovine je naša rýchlosť $\pmb{v_b}$. Úlohou je nájsť takú polohu bodou $\pmb{M}$ aby sme dráhu $\pmb{AM + MB}$ prešli v čo najkratšom čase. Môžeme si to predstaviť tak, že polrovina obsahujúca bod $\pmb{A}$ je voda a my plávame rýchlosťou $\pmb{3 \: km/hod.}$ a opačná polrovina je piesočná pláž, kde "bežíme" rýchlosťou $\pmb{5 \: km/hod.}$ Pritom kolmá vzdialenosť bodu $\pmb{A}$ od brehu (od priamky $\pmb{x}$) nech je $4$ km od bodu $\pmb{B \: }3 \: km$ a nech $d = 11 \: km$.

Riešenie:

Pozrime si obrázok^[1] :

Otvorte si Cabri výkres Svetlo, zmeňte hodnoty $\pmb{v_a, v_b}$, prípadne aj $\pmb{OA, PB}$ a $\pmb{OP}$ a pohybom bodu $\pmb{M}$ nájdite takú jeho polohu, v ktorej je hodnota $\pmb{t(M)}$ minimálna. Potom porovnajte podiel $\pmb{sin \alpha : sin \beta}$ s podielom $\pmb{v_a : v_b}$.

Problém si môžete ozrejmiť aj v Excelovskom zošite Svetlo. Urobili sme tam tabuľku funkcie $\bbox[yellow, 5px]{t(x) = \frac{\sqrt{OA^2 + x^2}}{v(A)} + \frac{\sqrt{(OP - x)^2 + PB^2}}{v(B)}}$ a v stĺpci $E$ sme vypočítali podiel $\pmb{sin \alpha : sin \beta}$.

Pomocou funkcie Minimum sme našli minimálnu hodnotu $\pmb{t(min)}$ (pozri bunku $F3$). Prehľadávaním tabuľky nájdite riadok, v ktorom nadobúda $\pmb{t(x)}$ minimálnu hodnotu a všimnite si príslušnú hodnotu podielu $\pmb{sin \alpha : sin \beta}$.

Aj v Exceli môžete meniť hodnoty $\bf{v_a , v_b}$ , prípadne aj $\bf{OA, PB}$ a $\bf{OP}$. Myslím si, že po pár experimentoch v Cabri a Exceli budete súhlasiť s hypotézou, že $$\bbox[yellow,3px]{\text{Optimálne poloha bodu M, pre ktorú cesta z bodu A do bodu B trvá najkratší čas je tá, pre ktorú platí:} \; \bf{\frac{\sin \alpha}{\sin \beta}=\frac{v_a}{v_b} }}.$$