Motto
Za väčšinu toho čo viem, vďačím svojim žiakom.
Pri vyučovaní matematiky sa často dopúšťame jednej chyby. Nemyslíme na zadné kolieska. Napríklad pri riešení sústav lineárnych rovníc v 1. ročníku strednej školy si málo uvedomujeme, čo a v akej podobe z toho budeme potrebovať neskôr, napríklad v analytickej geometrii pri určovaní vzájomnej polohy lineárnych útvarov. Konkrétne tým myslím, že napríklad neriešime príklady typu:
Nech priamka $\pmb{p}$ prechádza bodmi $\pmb{(-1; 1)}$ a $\pmb{(2; 2)}$
Nájdite aspoň dva ďalšie body, ktoré patria tejto priamke.
Nájdite podmienku, ktorú spĺňajú súradnice všetkých bodov tejto priamky.
Pozrime si obrázok, na ktorom je nakreslená priamka idúca bodmi $\pmb{(-1; 1)}$ a $\pmb{(2; 2)}$:
Ďalšie dva body (s celočíselnými súradnicami), ktoré patria tejto priamke sme našli pomocou obrázku.
(pozri Cabri výkres experiment1)
Ak sa nad obrázkom zamyslíme, tak vidíme, že ak $\pmb{(-1; 1)}$
a $\pmb{(2; 2)}$ sú bodmi našej priamky, tak aj dvojica $\pmb{(-1 + 3k; 1 + k)}$ (kde $\pmb{k}$ je
ľubovoľné reálne číslo) je bodom tejto priamky, lebo $\pmb{2 - (-1) = 3}$ a $\pmb{2 - 1 = 1}$.
Preto pre všetky body $\pmb{x ; y}$ našej priamky platí:
$$\pmb{x = - 1 + 3k, y = 1 + k} \qquad (+)$$
Ak 2. rovnicu z $(+)$ vynásobíme číslo $\pmb{-3}$ a potom rovnice sčítame, dostaneme: $$\bbox[yellow, 5px]{\pmb{x - 3y = - 4}}$$
(Pozrite si zošit Experiment2 a pohrajte sa s nástrojom "Hľadanie riešenia.")
Nech body $\pmb{(x_1; y_1)}$ a $\pmb{(x_2; y_2)}$ sú body priamky $\pmb{p}$.
"Nájdite" všetky body tejto priamky a zapíšte ich "jedným vrzom" s použitím nejakého parametra.
Určte rovnicu, ktorú spĺňajú súradnice každého bodu tejto priamky. Návod: postupujte ako v 1. príklade.
Napíšte s použitím vhodných parametrov všetky také lineárne rovnice (s dvoma neznámymi), pre ktoré je
usporiadaná dvojica $\pmb{(-1; 2)}$ jedným z ich riešení.
(Pozri Cabri 01)
Nech $\bf{(3 – 2t; \; -7 + 3t)}$ sú všetky riešenia lineárnej rovnice $(+)$ a $\bf{(-5 + 4u; \; 5 – 6u)}$ sú všetky riešenia lineárnej rovnice $(++)$. Majú tieto dve rovnice spoločné riešenie?
Nech $\bf{(3 – 2t; \; -7 + 3t)}$ sú všetky riešenia lineárnej rovnice $(+)$ a $\bf{(2 + 7u; \; 3 – 2u)}$ sú všetky riešenia lineárnej rovnice $(+++)$. Určte riešenie sústavy rovníc $(+)$ a $(+++)$.