MATEMATICKÁ ČÍTANKA

Obsah

3.3 Sústavy lineárnych rovníc trochu inak. [1]

Pri vyučovaní matematiky sa často dopúšťame jednej chyby. Nemyslíme na zadné kolieska. Napríklad pri riešení sústav lineárnych rovníc v 1. ročníku strednej školy si málo uvedomujeme, čo a v akej podobe z toho budeme potrebovať neskôr, napríklad v analytickej geometrii pri určovaní vzájomnej polohy lineárnych útvarov. Konkrétne tým myslím, že napríklad neriešime príklady typu:

Príklad 1.

Nech priamka $\pmb{p}$ prechádza bodmi $\pmb{(-1; 1)}$ a $\pmb{(2; 2)}$

  1. Nájdite aspoň dva ďalšie body, ktoré patria tejto priamke.

  2. Nájdite podmienku, ktorú spĺňajú súradnice všetkých bodov tejto priamky.

Riešenie

  1. Pozrime si obrázok, na ktorom je nakreslená priamka idúca bodmi $\pmb{(-1; 1)}$ a $\pmb{(2; 2)}$:

    obrazky

    Ďalšie dva body (s celočíselnými súradnicami), ktoré patria tejto priamke sme našli pomocou obrázku.

    (pozri Cabri výkres experiment1)

    Ak sa nad obrázkom zamyslíme, tak vidíme, že ak $\pmb{(-1; 1)}$ a $\pmb{(2; 2)}$ sú bodmi našej priamky, tak aj dvojica $\pmb{(-1 + 3k; 1 + k)}$ (kde $\pmb{k}$ je ľubovoľné reálne číslo) je bodom tejto priamky, lebo $\pmb{2 - (-1) = 3}$ a $\pmb{2 - 1 = 1}$. Preto pre všetky body $\pmb{x ; y}$ našej priamky platí: $$\pmb{x = - 1 + 3k, y = 1 + k} \qquad (+)$$

    Ak 2. rovnicu z $(+)$ vynásobíme číslo $\pmb{-3}$ a potom rovnice sčítame, dostaneme: $$\bbox[yellow, 5px]{\pmb{x - 3y = - 4}}$$

    (Pozrite si zošit Experiment2 a pohrajte sa s nástrojom "Hľadanie riešenia.")


Úlohy

  1. Nech body $\pmb{(x_1; y_1)}$ a $\pmb{(x_2; y_2)}$ sú body priamky $\pmb{p}$.

    1. "Nájdite" všetky body tejto priamky a zapíšte ich "jedným vrzom" s použitím nejakého parametra.

    2. Určte rovnicu, ktorú spĺňajú súradnice každého bodu tejto priamky. Návod: postupujte ako v 1. príklade.

  2. Napíšte s použitím vhodných parametrov všetky také lineárne rovnice (s dvoma neznámymi), pre ktoré je usporiadaná dvojica $\pmb{(-1; 2)}$ jedným z ich riešení.

    (Pozri Cabri 01)

  3. Nech $\bf{(3 – 2t; \; -7 + 3t)}$ sú všetky riešenia lineárnej rovnice $(+)$ a $\bf{(-5 + 4u; \; 5 – 6u)}$ sú všetky riešenia lineárnej rovnice $(++)$. Majú tieto dve rovnice spoločné riešenie?

  4. Nech $\bf{(3 – 2t; \; -7 + 3t)}$ sú všetky riešenia lineárnej rovnice $(+)$ a $\bf{(2 + 7u; \; 3 – 2u)}$ sú všetky riešenia lineárnej rovnice $(+++)$. Určte riešenie sústavy rovníc $(+)$ a $(+++)$.