Motto
Za väčšinu toho čo viem, vďačím svojim žiakom.
Označme dĺžky strán $\pmb{a, k \cdot a}$, potom máme $$\pmb{(2a + 2a \cdot k)^2 = 32 \cdot k \cdot a^2 \iff}$$ $$\pmb{\iff 4(1 + k)^2 = 32 \iff}$$ $$\pmb{\iff k^2 - 6k + 1 = 0.}$$ Preto hľadaný pomer strán $\pmb{k = 3 + \sqrt{8}}$ alebo $\pmb{k = 3 - \sqrt{8} = \frac{1}{3 + \sqrt{8}}}$.
Máme tri vyjadrenia plášťa a z toho dostávame tri rovnice:
$\pmb{P(r) = \pi r^2 \frac{r^2 + 1}{r^2 - 1} \Rightarrow r^2 \frac{r^2 + 1}{r^2 - 1} = \frac{20}{3} \iff 3r^4 - 17r^2 + 20 = 0, r \in (1; \infty)}$
$\pmb{P(v) = \pi \frac{v (v - 1)}{v - 2} \Rightarrow \frac{v (v - 1)}{v - 2} = \frac{20}{3} \iff 3v^2 - 23v + 40 = 0, v \in (2; \infty)}$
$\pmb{P(\alpha) = \pi \frac{(sin \alpha + 1)^2}{sin a cos^2 \alpha} \Rightarrow \frac{(sin \alpha + 1)^2}{sin a cos^2 \alpha} = \frac{20}{3} \iff 20sin^3 \alpha + 3sin^2 \alpha - 14sin \alpha + 3 = 0, \alpha \in \bigl(0; \frac{\pi}{2} \bigr )}$
Ich riešenia sú:
$\pmb{r_1 = 2, r_2 = \sqrt{\frac{5}{3}}}$
$\pmb{v_1 = 5, v_2 = \frac{8}{3}}$
Rovnica $\pmb{20s^3 + 3s^2 - 14s + 3 = 0}$ má 3 korene $\pmb{s_1 = -1, s_2 = 0.25, s_3 = 0.6}$, z čoho máme dve riešenia $\pmb{\alpha_1 = 0.2526802, \alpha_2 = 0.6435011}$ (radiánov).
$\pmb{\frac{7 - x}{\sqrt{(7 - x)^2 + 9}} = 2 \cdot \frac{x}{\sqrt{x^2 + 16}}, x \in \langle 0; 7 \rangle
\iff 3x^4 - 42x^3 + 167x^2 + 224x - 784 = 0}$.
Pohľad na G16 a použitie ikony Find roots poskytuje jediný kladný koreň, $\pmb{x = 1.90928376}$
(približne).
G16
Pohľad na G17 a použitie ikony Find roots poskytuje vzhľadom na podmienku $\pmb{x > 200}$ jediné
riešenie $\pmb{x = 325}$.
G17
Rekurentný vzťah má podobu $\pmb{x_{n+1} = f^{-1}(g(x_n))}$, pričom $\pmb{g: y = x^5, f: y = 0.5x + 0.1,
f^{-1}: y = 2x - 0.2}$, odkiaľ dostávame: $\bbox[yellow, 5px]{\pmb{x_{n+1} = 0.5x_n^5 - 0.2}}$.
Ak si otvoríte výkres iterácia a v ňom použijete makro iterace, bude vám iteračný proces pri
vhodnej voľbe prvého priblíženia konvergovať k riešeniu (približne) -0.21. Ak zvolíte prvé
priblíženie bližšie k iným priesečníkom, začne vám iteračný proces "divergovať". Ak ale zmeníte smer,
t.j. ak najprv kliknete na priamku a potom na graf $\pmb{y = x^5}$, začne Vám iterácia konvergovať
k týmto priesečníkom. Ak vymeníme funkcie v našom vzťahu $\pmb{x_{n+1} = f^{-1}(g(x_n))}$ dostaneme
vzťah: $\bbox[lime, 5px]{\pmb{x_{n+1} = \sqrt[5]{0.5x_n + 0.1}}}$. Pozrite si zošit iterácia, kde sme
použili oba vzťahy na presnejší výpočet koreňov.
iterácia
$\pmb{4x \bigl (2\sqrt{1 - x^2} - x = \frac{\pi}{2}, x \in (0; 1) \quad x_1 = 0.22850128, x_2 = 0.768575}$
$\pmb{4 \cdot sin \alpha (2 \cdot cos \alpha - sin \alpha) = \frac{\pi}{2}, \alpha \in
(0; \frac{\pi}{2}) x_1 = 0.23053795, x_2 = 0.87661077}$ Približné riešenia sme získali v zošite
riešiteľ a v grafoch G18a a G18b. Všimnite si, že nástroj "riešiteľ" ponúkne vždy len jedno
riešenie, najbližšie k aktuálnej hodnote menenej bunky.
riešiteľ - na stiahnutie
G18a
G18b