MATEMATICKÁ ČÍTANKA

Obsah

2.2 Úpravy výrazov

Porovnajte nasledujúce výrazy:

  1.   $\bf{4 \cdot x^2 - 16 \cdot x + 7}$

  2.   $\bf{((4) \cdot x - 16) \cdot x + 7}$

  3.   $\bf{4 \cdot (x - 2)^2 - 9}$

  4.   $\bf{4 \cdot (x - 0.5) \cdot (x - 3.5)}$

Ako ľahko nahliadnete, sú to iba rôzne podoby toho istého výrazu. Stačí výrazy B, C a D trochu "upraviť".

Tvar A je najjednoduchší v tom zmysle, že je vhodný ak chceme podobné výrazy napríklad sčitovať, násobiť, porovnávať a podobne.

Tvar B je vhodný na výpočet hodnôt daného výkazu. Stačia na to dve násobenia. Vedieť upraviť mnohočlen do tohto tvaru je rozumné, ak chceme poznať jeho hodnoty pre viacero hodnôt premennej $x$.

Z tvaru C vidieť, že náš výraz nadobúda svoju minimálnu hodnotu $\bf{-9}$ vtedy, keď $\bf{x = 2}$.

Z tvaru D zasa vidíme, že náš výraz je rovný nule, keď $\bf{x = 0.5}$, alebo keď $\bf{x = 3.5}$.

Z tohto príkladu je dostatočne zrejmé, že výrazy upravujeme [1] podľa potreby, t.j. do takého tvaru, ktorý je pre daný účel najvhodnejší. Za zmienku stojí fakt, že z tvarov B,C a D sa k tvaru A dostaneme "prirodzene", jednoduchou úpravou, ale schopnosť získať z tvaru A tvar C a najmä tvar D už musí byť predmetom cieľavedomého výcviku.

Príklad 1.

  1. Upravme na tvar C výraz $\bf{x^2 + 4x + 9}$. Z rovnosti $\bf{x^2 + 4x + 9 = (x - u)^2 + v}$ bezprostredne vyplýva: $$\bf{x^2 + 4x + 9 = x^2 - 2ux + u^2 + v \Rightarrow}$$ $$\bf{4 = - 2u \land 9 = u^2 + v \Rightarrow}$$ $$\bf{u = -2 \land v = 5}$$ a preto: $\bf{x^2 + 4x + 9 = (x + 2)^2 + 5}$

  2. Upravme na tvar C výraz $\bf{2x^2 + 6x + 9}$. Z rovnosti $\bf{2x^2 + 6x + 9 = 2(x - u)^2 + v}$ bezprostredne vyplýva: $$\bf{2x^2 + 6x + 9 = 2x^2 - 4ux + 2u^2 + v \Rightarrow}$$ $$\bf{6 = -4u \land 9 = 2u^2 + v \Rightarrow}$$ $$\bf{u = - \frac{3}{2} \land v = \frac{9}{2}}$$ a preto: $\bf{2x^2 + 6x + 9 = 2 \Bigl(x + \frac{3}{2} \Bigr)^2 + \frac{9}{2}}$


Príklad 2.

Vo všeobecnosti zrejme platí: $$\bf{a \cdot x^2 + b \cdot x + c =}$$ $$\bf{a \Biggl[x^2 + \frac{b}{a}x \Biggr] + c = a \Biggl[\biggl(x + \frac{b}{2a} \biggr)^2 - \frac{b^2}{4a^2} \Biggr] + c =}$$ $$\bf{a \biggl(x + \frac{b}{2a} \biggr)^2 - \frac{b^2}{4a} + c = a \biggl(x - \frac{-b}{2a} \biggr)^2 + \frac{4ac - b^2}{4a}}$$

Otvorte si zošit Dopĺňanie a zadajte vzorec pre výpočet hodnôt buniek D7 a E7.

Dopĺňanie

Zaujímavý je aj tvar B. V nasledujúcom príklade budeme postupovať podobne ako v jednom príklade z kapitoly o číslach.