Goniometrické funkcie
Úlohy z kapitoly 4.1
-
Zrejme platí: $$\pmb{y = |KO| = x + |QO|, |AN| = x + |PN|, \frac{|QO|}{PN} = \frac{1 - x}{1} \Rightarrow}$$ $$\pmb{|QO| = (1 - 2x)(1 - x) \Rightarrow}$$ $$\pmb{|KO| = y = 2x^2 - 2x + 1 = |KN|^2}$$
Dĺžka úsečky $\pmb{KO}$ teda vyjadruje obsah štvorca $KLMN$.
Pozrite si Cabri výkres Funkcie 04.
-
Po experimentovaní s PL01 a PL02 iste viete, že:
PL01
PL02
-
Paraboly $\pmb{y = a \cdot x^2 + b \cdot x + c}$ a $\pmb{y = p \cdot x^2 + q \cdot x + r}$ sú zhodné (majú rovnaký tvar) práve vtedy, keď $\bbox[yellow, 4px]{\pmb{a = p}}$ .
-
Paraboly $\pmb{y = a \cdot x^2 + b \cdot x + c}$ a $\pmb{y = u \cdot (x - v)^2 + w}$ sú totožné (splývajú) práve vtedy, keď $\bbox[yellow, 4px]{\pmb{u = a, v = - \frac{b}{2a}, w = \frac{4ac - b^2}{4a}}}$ .
-
-
Z výkresu Odraz plynie, že dotyčnica paraboly v bode M je osou uhla $\pmb{FMQ}$. Keďže pre svetelné lúče platí, že uhol odrazu je rovný uhlu dopadu a dotyčnica v blízkosti bodu M nahrádza parabolu, lúče vychádzajúce z ohniska sa odrážajú v smere rovnobežnom s osou paraboly.
Odraz
-
Z experimentu vo výkrese Graf3, ale aj z úvahy $\pmb{y = \frac{ax + b}{x + c} = a + \frac{b - ac}{x + c}}$ plynie, že táto funkcia:
-
Nie je definovaná pre $\pmb{x = - c}$.
-
Ak $\pmb{b - ac \neq 0}$, tak nikdy nenadobudne hodnotu $\pmb{a}$.
Ak $\pmb{b - ac = 0}$, tak je to funkcia $\pmb{y = a, x \neq - c}$. -
Pre $\pmb{k = b - ac}$ je jej graf zhodný (má rovnaký tvar) s grafom funkcie $\pmb{y = \frac{k}{x}}$.
Graf3
-
-
Z faktu, že graf funkcie prechádza piatimi bodmi, dostaneme päť rovníc typu $\pmb{y_i = f(x_i)}$. To stačí na jednoznačné určenie piatich neznámych koeficientov. Preto hľadaná funkcia bude polynóm 4. stupňa: $\pmb{a_4x^4 + a_3x^3 + a_2x^2 + a_1x + a_0}$. Koeficienty $\pmb{a_i}$ sú riešeniami sústavy rovníc, ktorú nájdete aj s riešením v 1. hárku zošitu Funkcie1.
Funkcie1 - 1. hárok
Hľadaný graf nájdete v G22.
-
Z toho, že graf funkcie $\pmb{y = \frac{ax + b}{x + c}}$ prechádza bodmi $\pmb{A[1;4],\: B[2;3],\: C[3; 2]}$ dostávame sústavu rovníc: $$\pmb{a + b - 4c = 4}$$ $$\pmb{2a + b - 3c = 6}$$ $$\pmb{3a + b - 2c = 6},$$ ktorá nemá riešenie. Taká linerárna lomená funkcia neexistuje. (Všimnite si, že body $\pmb{A, B, C}$) ležia na jednej priamke.
-
Hľadaná funkcia má zrejme tvar $\bf{y = a|x+3| + b|x+1| + c|x-2| + dx +e}$.
Koeficienty $\bf{a, b, c, d, e}$ sú riešeniami sústavy lineárnych rovníc, ktorú spolu s jej riešením nájdete v 2. hárku zošitu Funkcie1.
Funkcie1 - 2. hárok
Graf nájdete v Cabri výkrese GF2.
