Motto
Za väčšinu toho čo viem, vďačím svojim žiakom.
Na prijímacej skúške z matematiky robili uchádzačom problémy tieto dve otázky:
V jachtárskej súťaži čln pána Juraja pri plavbe od štartu k otočke mal priemernú rýchlosť 32 km/hod. a pri plavbe späť 18 km/hod. Jeho priemerná rýchlosť počas celej plavby bola približne:
A 25 km/h B 24 km/h C 23 km/h D 22 km/h
"Indiánsky beh" je striedanie chôdze a behu. Matej absolvoval trasu preteku tak, že beh a chôdzu striedal vždy po minúte, Andrej striedal beh a chôdzu vždy po 200 metroch. Obaja bežali priemernou rýchlosťou 18 km/hod. a kráčali rýchlosťou 6 km/hod. Kto bol vpredu po štyridsiatich minútach a o koľko metrov?
Na 1. otázku bola najčastejšia odpoveď A a na 2. otázku väčšina uchádzačov neodpovedala. Nájdime správne odpovede na obe otázky.
Ak označíme dĺžku trate od štartu k otočke ako $\pmb{d}$, rýchlosť tam ako $\pmb{v_1}$ a rýchlosť späť $\pmb{v_2}$ pre celkový čas platí: $$\pmb{t = \frac{d}{v_1} + \frac{d}{v_2}}$$
a priemerná rýchlosť bude
V našom prípade je priemerná rýchlosť 23.04 km/h a preto správna odpoveď je C.
V 2. úlohe najprv spočítame priemerné rýchlosti oboch pretekárov. Matej šiel čas $\pmb{t}$ rýchlosťou $\pmb{v_1}$ a čas $\pmb{t}$ rýchlosťou $\pmb{v_2}$. Preto za čas $\pmb{2t}$ prešiel dráhu $\pmb{d = t \cdot v_1 + t \cdot v_2}$ a jeho priemerná rýchlosť bola $\pmb{\overline{v} = \frac{t \cdot v_1 + t \cdot v_2}{2t} = \frac{v_1 + v_2}{2}}$, v našom konkrétnom prípade 12 km/h.
Andrej prešiel dráhu $\pmb{d}$ rýchlosťou $\pmb{v_2}$. Preto podľa úvahy z predchádzajúcej úlohy je jeho priemerná rýchlosť $\pmb{\overline{v} = \frac{2}{\frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2}}}$, v našom prípade 9 km/h.
Preto po dvoch tretinách hodiny bol vpredu Matej o 2 km.
Matej a Michal boli na začiatku 1. ročníka rovnako vysokí. Matej narástol za 1. rok o 8% a 2. rok o 4% svojej výšky. Michal narástol každý rok o rovnaké percento svojej výšky a po dvoch rokoch bol rovnako vysoký ako Matej. O koľko % ročne narástol Michal?
Zväčšiť veličinu $\pmb{h}$ o $\pmb{p\%}$ znamená ju vynásobiť číslom $\pmb{q = 1 + \frac{p}{100}}$. Preto Matejove a Michalove výšky boli: $$\begin{array} {|c|c|} \hline & Na \: začiatku & Po \: 1. \: roku & Po \: 2. \: roku\\ \hline Matej & h & h\cdot q_1 & h \cdot q_1 \cdot q_2\\ \hline Michal & h & h\cdot q & h \cdot q^2\\ \hline \end{array}$$
Z toho dostávame rovnicu $\pmb{q^2 = q_1 \cdot q_2}$ alebo $\pmb{q = \sqrt{q_1 \cdot q_2}}$.
V našom prípade Michalov ročný rast je približne 1.0598113 čiže menej ako 6% ročne.
V skúmaných príkladoch sme mali 3 druhy „priemerov“. \begin{align} \bf{\bar{v} = \frac{v_1+v_2}{2} \qquad (AP)} & \bf{\bar{q} = \sqrt{q_1 \cdot q_2} \qquad (GP)} & \bf{\bar{v} = \frac{2}{\frac{1}{v_1}+\frac{1}{v_2}} \qquad (HP)} \end{align}
Voláme ich aritmetický priemer, geometrický priemer a harmonický priemer. Pozrite si zošit Priemery a vyslovte hypotézu o veľkosti jednotlivých priemerov. Uvedené priemery je možné počítať aj z ľubovoľného počtu (kladných) čísel. Ak označíme: \begin{align} \bf{A(x_i)= \frac{\sum_{i=1}^{i=n}}{n}} & & \bf{G(x_i)= \sqrt[n]{\prod^{i=n}_{i=1}x_i}} & & \bf{H(x_i)= \frac{n}{\sum^{i=n}_{i=1}\frac{1}{x_i}}} \end{align}
Tak pre ľubovoľné prirodzené číslo $n$ a ľubovoľné kladné čísla $\bf{x_i ( i = 0}$ až $\bf{i = n)}$ platí:
$$\bf{\bbox[yellow, 3px]{H(x_i) \leq G(x_i) \leq A(x_i)} \qquad (^*) }$$
(Pozrite si 1. hárok zošitu Priemery.)