Motto
Za väčšinu toho čo viem, vďačím svojim žiakom.
$\pmb{a_n = a_0 \cdot q^n.}$
Vzorec explicitný aj rekurentný nájdete v zošite Trisekcia.
Hypotéza $\pmb{a_n = - \frac{2}{3} \cdot \bigl ( - \frac{1}{2} \bigr )^n + \frac{2}{3}}$ je zrejmá zo zošitu Rekurencie 04. Pri dôkaze druhého kroku indukcie použijeme druhú podobu [1] princípu matematickej indukcie. Podľa rekurentného vzťahu $$\pmb{a_{k+1} = \frac{a_k + a_{k-1}}{2} = }$$
Hypotéza $\pmb{c_n = - \frac{3}{4} \cdot \biggl ( - \frac{1}{3} \biggr )^n + \frac{3}{4}}$ je zrejmá zo zošitu Rekurencie 05. Dôkaz bol podobný ako v predchádzajúcej úlohe.
Riešenie je v 2. hárku zošita Splátky. Ak použijete nástroj riešiteľ vyjde Vám približný ročný úrok $\pmb{5.8\%}$.[2]
Hypotéza $\pmb{b_n = - \frac{2}{5} \cdot \biggl (\frac{4}{9} \biggr )^n + \frac{2}{5}}$. Je zrejmá z 2. hárku zošitu EXCEL. Dôkaz by bol podobný ako v úlohe 3.
Použijeme 3. hárok zošitu EXCEL, zvolíme si $\pmb{p = 0.9}$ a uvedomíme si, že $\pmb{a(n) = p - b(n)}$. Dostaneme $\pmb{a(n) = \frac{10}{19} + \frac{9}{19} \cdot \biggl ( \frac{81}{100} \biggr )^n}$.
-
Vďaka experimentovaniu v zošite Pokusy máme:
$\pmb{a_0 = 0, \: a_1 = 1, \: a_{n+2} = \frac{a_n + a_{n+1}}{2}}$.
$\pmb{a_1 = 1, \: a_{n+1} = a_n + \frac{1}{a_n} - \frac{1}{2}}$.
$\pmb{a_n = \frac{1}{n}}$.
$\pmb{a_1 = 1, \: a_{n+1} = a_n + \frac{1}{a_n}}$.
$\pmb{a_1 = - 1, \: a_2 = - 2, \: a_{n+2} = \frac{1}{a_n} + a_{n+1}}$.
$\pmb{a_1 = 1, \: a_{n+1} = \frac{a_n - 2 }{a_n + 1}}$.