Goniometrické funkcie
Pri definovaní goniometrických funkcií máme dva problémy:
-
Zo základnej školy sme si doniesli predstavu, že funkcie sínus, kosínus, tangens, priraďujú uhlu v pravouhlom trojuholníku nejaké kladné číslo (pomer príslušných strán v danom trojuholníku) a teraz ich máme chápať ako predpisy, ktoré ľubovoľnému (reálnemu) číslu priraďujú nejaké (reálne) číslo.
-
Uhol doteraz pre nás znamenal "časť roviny ohraničenej dvoma polpriamkami so spoločným začiatkom" ale teraz ho máme chápať ako niečo čím sa meria veľkosť otočenia.
Ak si myslíte, že druhý problém nie je Váš problém, tak vyriešte nasledovné dve úlohy:
Úlohy
Uvažujme orientovaný uhol, ktorého prvým ramenom je malá hodinová ručička a druhým ramenom veľká ručička. Aká je jeho veľkosť v čase $\pmb{t}$ hodín? ($\pmb{t \in R}$)
Ktorý orientovaný uhol má tu vlastnosť, že jeho trojnásobok má veľkosť $\pmb{270°}$?
Ak ste nevedeli vyriešiť 1. úlohu a ak si mylne myslíte, že 2. úloha má jediné riešenie (uhol s veľkosťou $\pmb{90°}$), tak venujte pozornosť nasledujúcemu textu.
Vieme, že orientovaný uhol je usporiadaná dvojica polpriamok so spoločným začiatkom. Tieto polpriamky voláme ramená a ich spoločný začiatok vrchol orientovaného uhla. Pokúsme sa osvetliť si pojmy veľkosť orientovaného uhla a sčitovanie orientovaných uhlov na nasledujúcich príkladoch:
Príklad 1. (Kotúľanie kružnice po priamke)
Predstavme si starú chlapčenskú [1] hru - kotúľanie obruče z vozového kolesa po ceste. Ak budeme abstrahovať od nepodstatných detailov, je to v podstate kotúľanie kružnice po priamke.
Priamkou nech je os $\pmb{x}$, jednotkovú kružnicu so stredom $S$ umiestnime tak, aby sa bodom $O$ dotýkala osi $\pmb{x}$ v bode $\pmb{0}$. Ak $\pmb{SO}$ je 1. rameno a $\pmb{SA}$ je 2. rameno orientovaného uhla $\pmb{\alpha}$, potom pri "kotúľaní" kružnice po osi $\pmb{x}$ bude bod $\pmb{A}$ opisovať krivku (volá sa cykloida), ktorá pretne os $\pmb{x}$ v bode $\pmb{a}$, pre ktorý platí, že dĺžka oblúka od $\pmb{O}$ po $\pmb{A}$ sa rovná dĺžke úsečky $\pmb{0a}$. Keby sme v kotúľaní pokračovali (na obe strany), bod $\pmb{A}$ by sa dotkol osi $\pmb{x}$ v ďalších bodoch, ako to vidíme na obrázku vľavo:
Celú situáciu sme znázornili na obrázku na nasledujúcej strane, Vy sa môžete v Cabri výkrese Kotúľanie s celou situáciou pohrať. Môžete meniť základnú veľkosť uhla, t.j. polohu bodu $\pmb{A}$ na jednotkovej kružnici, a môžete si vybrať, koľký odtlačok bodu $\pmb{A}$ na osi $\pmb{x}$ chcete vidieť.
Prvý odtlačok bodu $\bf{A}$ je v čísle $\bf{1,5708}$, (to bude základná veľkosť uhla $\bf{\alpha}$), ďalší v bode $\bf{1,5708 + 2\pi = 7,8540}$, atď. Môžeme konštatovať, že všetkými odtlačkami bodu $A$ na číselnej osi t. j. všetkými veľkosťami uhlu $\bf{\alpha}$ budú čísla $\bf{1,5708 + k \cdot 2\pi}$, kde $\bf{k}$ je ľubovoľné celé číslo.