MATEMATICKÁ ČÍTANKA

Príklad 1.

Spočítajte $\bf{1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + ... + n^2}$

Riešenie:

Označme súčet štvorcov prvých $\bf{n}$ prirodzených čísel ako $\bf{S^2_n}$ a napíšme do prvého riadku tabuľky niekoľko členov tejto postupnosti: $$\begin{array} {:r:r:} \hdashline 1 && 5 && 14 && 30 && 55 && 91 && 140 && 204 && 285 && 385 \\ \hdashline & 4 && 9 && 16 && 25 && 36 && 49 && 64 && 81 && 100 & \\ \hdashline \end{array}$$

Pre jednoduchosť sme v 2. riadku uviedli, čo treba k členu postupnosti pripočítať, aby vznikol ďalší člen. Teda v 2. riadku sú rozdiely čísel z 1. riadku. Vzorec pre postupnosť prvok 1. riadku nepoznáme, kým vzorec pre postupnosť prvkov 2. riadku je jasný - sú to štvorce prirodzených čísel. Skúsme tabuľku rozšíriť ^[1] " o 3. riadok, tvorený rozdielmi prvkov z 2. riadku a ešte o 4. riadok, tvorený rozdielmi prvkov z 3. riadku: $$\begin{array} {:r:r:} \hdashline 1 && 5 && 14 && 30 && 55 && 91 && 140 && 204 && 285 && 385 \\ \hdashline & 4 && 9 && 16 && 25 && 36 && 49 && 64 && 81 && 100 & \\ \hdashline && 5 && 7 && 9 && 11 && 13 && 15 && 17 && 19 &&\\ \hdashline &&& 2 && 2 && 2 && 2 && 2 && 2 && 2 &&&\\ \hdashline \end{array}$$

Po prezretí tabuľky môžeme konštatovať, že 4. riadok je konštantná funkcia, 3. riadok je lineárna funkcia, 2. riadok je kvadratická funkcia a preto je zrejme 1. riadok kubická funkcia. Prečo môžeme vysloviť hypotézu: $$\bf{S^2_n = A n^3 + B n^2 + C n + D} \qquad (H)$$

Neznáme koeficienty $a_i$ vypočítame tak, že do predpisu $(H)$ dosadíme za $n$ čísla $1$ až $4$ a výsledok porovnáme s prvými štyrmi členmi postupnosti. Dostaneme tak sústavu rovníc: $$\begin{array} {:r:r:} \hdashline & A+ && B+ && C+ & D= & 1\\ \hdashline 8 & A+ & 4 & B+ & 2 & C+ & D= & 5\\ \hdashline 27 & A+ & 9 & B+ & 3 & C+ & D= & 14\\ \hdashline 64 & A+ & 16 & B+ & 4 & C+ & D= & 30\\ \hdashline \end{array}\qquad(S)$$

Príklad 2.

Funkciu $\bf{y = \frac{10x^3 - 70x^2 + 150x - 96}{(x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)}} \qquad (1)$

chceme napísať v tvare: $$\bf{y = \frac{A}{(x - 1)} + \frac{B}{(x - 2)} + \frac{C}{(x - 3)} + \frac{D}{x - 4}} \qquad (2)$$ po sčítaní zlomkov vo výraze $(2)$ a porovnaní čitateľa s čitateľom výrazu $(1)$ sme dostali nasledovnú sústavu rovníc pre neznáme koeficienty $A$, $B$, $C$, $D$: $$\begin{array} {:r:r:} \hdashline & A+ && B+ && C+ && D= & 10\\ \hdashline 9 & A+ & 8 & B+ & 7 & C+ & 6 & D= & 70\\ \hdashline 26 & A+ & 19 & B+ & 14 & C+ & 11 & D= & 150\\ \hdashline 24 & A+ & 12 & B+ & 8 & C+ & 6 & D= & 96\\ \hdashline \end{array}\qquad(D)$$

Vedeli by ste ju vyriešiť?

Pravdepodobne nie. Ale iste by ste vedeli "vyriešiť" spamäti sústavu rovníc: \begin{array} {:c:c:} \hdashline \bbox[yellow, 2px] A &&&&&&& \bbox[yellow, 2px] = & \bbox[yellow, 2px] 1 \\ \hdashline && \bbox[yellow, 2px] B &&&&& \bbox[yellow, 2px] = & \bbox[yellow, 2px] 2 & && \bbox[yellow, 2px]{(1)} \\ \hdashline &&&& \bbox[yellow, 2px] C &&& \bbox[yellow, 2px] = & \bbox[yellow, 2px] 3 \\ \hdashline &&&&&& \bbox[yellow, 2px] D & \bbox[yellow, 2px] = & \bbox[yellow, 2px] 4\\ \hdashline \end{array}

Takže jediným problémom pri riešení sústav lineárnych rovníc je, ako z danej sústavy $\bf{(D)}$ získať takú sústavu "typu" $\bf{(1)}$, ktorá má rovnaké riešenie ako sústava $\bf{(D)}$.

Čím sa líšia tieto sústavy rovníc? \begin{array} {:c:c:} \hdashline A &&&&&&& = & 1 &&&&&&&& B &&&&& = & 2 \\ \hdashline && B &&&&& = & 2 & && {(1)} &&& A &&&&&&& = & 1 &&& (2) \\ \hdashline &&&& C &&& = & 3 &&&&&&&&&& C &&& = & 3 \\ \hdashline &&&&&& D & = & 4 &&&&&&&&&&&& D & = & 4\\ \hdashline \end{array}

Zrejme majú rovnaké riešenia, pretože sústava rovníc je konjunkciou jednotlivých rovníc a tá je komutatívna. Preto môžeme sformulovať takúto ekvivalentnú úpravu sústav lineárnych rovníc:

U 1

Výmena ľubovoľných dvoch rovníc sústavy je ekvivalentná úprava.

Všimnime si teraz tieto sústavy rovníc: \begin{array} {:c:c:} \hdashline A &&&&&&& = & 1 &&&&&& A &&&&&&& = & 2 \\ \hdashline && B &&&&& = & 2 & && {(1)} &&&&& 3 \cdot B &&&&& = & 3 \cdot 2 &&& (3) \\ \hdashline &&&& C &&& = & 3 &&&&&&&&&& C &&& = & 3 \\ \hdashline &&&&&& D & = & 4 &&&&&&&&&&&& D & = & 4\\ \hdashline \end{array} Zrejme sú ekvivalentné, 1., 3. a 4. rovnicu majú rovnakú a 2. rovnica sústavy $(1)$ je ekvivalentná s 2. rovnicou sústavy $(3)$. Preto môžeme sformulovať ďalšiu úpravu:

U 2

Vynásobenie ľubovoľnej rovnice sústavy ľubovoľným nenulovým číslom je ekvivalentná úprava.

Zaujímavé je porovnanie týchto dvoch sústav lineárnych rovníc: \begin{array} {:c:c:} \hdashline A &&&&&&& = & 1 &&&&&& A &&&&&&& = & 2 \\ \hdashline && B &&&&& = & 2 & && (1) &&& A & + & B &&&&& = & 1 + 2 &&& (4) \\ \hdashline &&&& C &&& = & 3 &&&&&&&&&& C &&& = & 3 \\ \hdashline &&&&&& D & = & 4 &&&&&&&&&&&& D & = & 4\\ \hdashline \end{array} Sústava $(4)$ je zrejme dôsledkom sústavy $(1)$, pretože sústavy sa líšia len v 2. rovnici, pričom 2. rovnica sústavy $(4)$ je dôsledkom (súčtom) 1. a 2. rovnice sústavy $(1)$.

Všimnime si postupnosť úprav: \begin{array} {:c:c:} \hdashline A &&&&&&& = & 1 &&&&&& -A &&&&&&& = & -1 \\ \hdashline A & + & B &&&&& = & 1 + 2 & && (4) &&& A & + & B &&&&& = & 1 + 2 &&& (5) \\ \hdashline &&&& C &&& = & 3 &&&&&&&&&& C &&& = & 3 \\ \hdashline &&&&&& D & = & 4 &&&&&&&&&&&& D & = & 4\\ \hdashline \end{array} \begin{array} {:c:c:} \hdashline -A &&&&&&& = & -1 &&&&&& A &&&&&&& = & 1 \\ \hdashline && B &&&&& = & 2 & && (6) &&&&& B &&&&& = & 2 &&& (1) \\ \hdashline &&&& C &&& = & 3 &&&&&&&&&& C &&& = & 3 \\ \hdashline &&&&&& D & = & 4 &&&&&&&&&&&& D & = & 4\\ \hdashline \end{array}

Vidíme, že aj sústava $(1)$ je dôsledkom sústavy $(4)$ a preto sú obe sústavy ekvivalentné. Preto platí:

U 3

Nahradenie ľubovoľnej rovnice sústavy súčtom tejto rovnice s ľubovoľnou rovnicou sústavy je ekvivalentná úprava.

Často budeme používať kombináciu úprav $(2)$ a $(3)$, ako to je zrejmé z nasledujúcej postupnosti úprav $\bf{(k \neq 0)}$. \begin{array} {:c:c:} \hdashline A &&&&&&& = & 1 &&&&&& A &&&&&&& = & 1 \\ \hdashline && B &&&&& = & 2 & && (1) &&&&& k \cdot B &&&&& = & k \cdot 2 &&& (a) \\ \hdashline &&&& C &&& = & 3 &&&&&&&&&& C &&& = & 3 \\ \hdashline &&&&&& D & = & 4 &&&&&&&&&&&& D & = & 4\\ \hdashline \\ \hdashline A &&&&&&& = & 1 &&&&&& A &&&&&&& = & 1 \\ \hdashline && k \cdot B &&&&& = & k \cdot 2 & && (b) &&&&& B &&&&& = & 2 &&& (c) \\ \hdashline &&&& k \cdot B + C &&& = & k \cdot 2 + 3 &&&&&&&&&& k \cdot B + C &&& = & k \cdot 2 + 3 \\ \hdashline &&&&&& D & = & 4 &&&&&&&&&&&& D & = & 4\\ \hdashline \end{array}

U 4

Nahradenie ľubovoľnej rovnice sústavy súčtom tejto rovnice s ľubovoľným násobkom inej rovnice sústavy je ekvivalentná úprava.

Vráťme sa k nášmu problému. Chceme vyriešiť sústavu: \begin{array} {:c:c:} \hdashline & A + && B + && C+ && D = & 10 \\ \hdashline 9 & A + & 8 & B + & 7 & C+ & 6 & D = & 70 \\ \hdashline 26 & A + & 19 & B + & 14 & C+ & 11 & D = & 150 \\ \hdashline 24 & A + & 12 & B + & 8 & C+ & 6 & D = & 96 \\ \hdashline \end{array}

Skôr ako začneme sústavu riešiť, zjednodušíme jej zápis. Ak ponecháme len to, čo nesie informáciu, dostaneme tabuľku čísel, ktorá sa nazýva "rozšírená matica sústavy". \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 10 \\ 9 & 8 & 7 & 6 & 70 \\ 26 & 19 & 14 & 11 & 150 \\ 24 & 12 & 8 & 6 & 96 \end{pmatrix}

Náš cieľ je získať z nej maticu tvaru: \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & b1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & b2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & b3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & b4 \end{pmatrix}

Pretože v 1. riadku 1.stĺpca už je číslo $1$ mohli sme hneď k 2. až 4. riadku pripočítať také násobky 1. riadku, aby sme "vyčistili" 1. stĺpec: \begin{array} {:c:c:} \hdashline \bbox[yellow, 3px]{1} & 1 & 1 & 1 & 10 & x(-9) &x(-26) & x(-24) \\ \hdashline 9 & 8 & 7 & 6 & 70 & \downarrow &\downarrow & \downarrow \\ \hdashline 26 & 19 & 14 & 11 & 150 & & \downarrow & \downarrow \\ \hdashline 24 & 12 & 8 & 6 & 96 & & & \downarrow \\ \hdashline \end{array}

Dostali sme: \begin{array} {:c:c:} \hdashline \bbox[yellow, 3px]{1} & 1 & 1 & 1 & 10\\ \hdashline 0 & \bbox[cyan, 3px]{-1} & -2 & -3 & -20 \\ \hdashline 0 & -7 & -12 & -15 & -110\\ \hdashline 0 & -12 & -16 & -18 & -144\\ \hdashline \end{array}

Teraz sme 2. riadok vynásobili takým číslom, aby v 2. riadku 2. stĺpca bolo číslo 1: \begin{array} {:c:c:} \hdashline \bbox[yellow, 3px]{1} & 1 & 1 & 1 & 10\\ \hdashline \bbox[yellow, 3px]{0} & \bbox[yellow, 3px]{1} & 2 & 3 & 20 \\ \hdashline \bbox[yellow, 3px]{0} & -7 & -12 & -15 & -110\\ \hdashline \bbox[yellow, 3px]{0} & -12 & -16 & -18 & -144\\ \hdashline \end{array}

K 1., 3. a 4. riadku sme pripočítali také násobky 2. riadku, aby sme „vyčistili“ 2. stĺpec: \begin{array} {:c:c:} \hdashline \bbox[yellow, 3px]{1} & 1 & 1 & 1 & 10 & \uparrow\\ \hdashline \bbox[yellow, 3px]{0} & \bbox[yellow, 3px]{1} & 2 & 3 & 20 & \times (-1) & \times 7 & \times 12 \\ \hdashline \bbox[yellow, 3px]{0} & -7 & -12 & -15 & -110 & & \downarrow & \downarrow\\ \hdashline \bbox[yellow, 3px]{0} & -12 & -16 & -18 & -144 & & \downarrow\\ \hdashline \end{array}

Dostali sme: \begin{array} {:c:c:} \hdashline \bbox[yellow, 3px]{1} & \bbox[yellow, 3px]{0} & -1 & -2 & -10 \\ \hdashline \bbox[yellow, 3px]{0} & \bbox[yellow, 3px]{1} & 2 & 3 & 20 \\ \hdashline \bbox[yellow, 3px]{0} & \bbox[yellow, 3px]{0} & \bbox[cyan, 3px]{2} & 6 & 30 \\ \hdashline \bbox[yellow, 3px]{0} & \bbox[yellow, 3px]{0} & 8 & 18 & 96\\ \hdashline \end{array}

Teraz sme 3. riadok vynásobili takým číslom, aby v 3. riadku 3. stĺpca bolo číslo 1: \begin{array} {:c:c:} \hdashline \bbox[yellow, 3px]{1} & \bbox[yellow, 3px]{0} & -1 & -2 & -10 \\ \hdashline \bbox[yellow, 3px]{0} & \bbox[yellow, 3px]{1} & 2 & 3 & 20 \\ \hdashline \bbox[yellow, 3px]{0} & \bbox[yellow, 3px]{0} & \bbox[yellow, 3px]{1} & 3 & 15 \\ \hdashline \bbox[yellow, 3px]{0} & \bbox[yellow, 3px]{0} & 8 & 18 & 96\\ \hdashline \end{array}

K 1., 2. a 4. riadku sme pripočítali také násobky 3. riadku, aby sme „vyčistili“ 3. stĺpec: \begin{array} {:c:c:} \hdashline \bbox[yellow, 3px]{1} & \bbox[yellow, 3px]{0} & -1 & -2 & -10 & \uparrow\\ \hdashline \bbox[yellow, 3px]{0} & \bbox[yellow, 3px]{1} & 2 & 3 & 20 & \uparrow & \uparrow \\ \hdashline \bbox[yellow, 3px]{0} & \bbox[yellow, 3px]{0} & \bbox[yellow, 3px]{1} & 3 & 15 & & \times 1 & \times (-2) & \times (-8)\\ \hdashline \bbox[yellow, 3px]{0} & \bbox[yellow, 3px]{0} & 8 & 18 & 96 & & \downarrow\\ \hdashline \end{array}

Dostali sme: \begin{array} {:c:c:} \hdashline \bbox[yellow, 3px]{1} & \bbox[yellow, 3px]{0} & \bbox[yellow, 3px]{0} & 1 & 5 \\ \hdashline \bbox[yellow, 3px]{0} & \bbox[yellow, 3px]{1} & \bbox[yellow, 3px]{0} & -3 & -10 \\ \hdashline \bbox[yellow, 3px]{0} & \bbox[yellow, 3px]{0} & \bbox[yellow, 3px]{1} & 3 & 15 \\ \hdashline \bbox[yellow, 3px]{0} & \bbox[yellow, 3px]{0} & \bbox[yellow, 3px]{0} & \bbox[cyan, 3px]{-6} & -24 \\ \hdashline \end{array}

Teraz sme 4. riadok vynásobili takým číslom, aby v 4. riadku 4. stĺpca bolo číslo 1: \begin{array} {:c:c:} \hdashline \bbox[yellow, 3px]{1} & \bbox[yellow, 3px]{0} & \bbox[yellow, 3px]{0} & 1 & 5 \\ \hdashline \bbox[yellow, 3px]{0} & \bbox[yellow, 3px]{1} & \bbox[yellow, 3px]{0} & -3 & -10 \\ \hdashline \bbox[yellow, 3px]{0} & \bbox[yellow, 3px]{0} & \bbox[yellow, 3px]{1} & 3 & 15 \\ \hdashline \bbox[yellow, 3px]{0} & \bbox[yellow, 3px]{0} & \bbox[yellow, 3px]{0} & \bbox[yellow, 3px]{1} & 4 \\ \hdashline \end{array}

K 1. až 3. riadku sme pripočítali také násobky 4. riadku, aby sme „vyčistili“ 4. stĺpec: \begin{array} {:c:c:} \hdashline \bbox[yellow, 3px]{1} & \bbox[yellow, 3px]{0} & \bbox[yellow, 3px]{0} & 1 & 5 & \uparrow \\ \hdashline \bbox[yellow, 3px]{0} & \bbox[yellow, 3px]{1} & \bbox[yellow, 3px]{0} & -3 & -10 & \uparrow & \uparrow \\ \hdashline \bbox[yellow, 3px]{0} & \bbox[yellow, 3px]{0} & \bbox[yellow, 3px]{1} & 3 & 15 & \uparrow & \uparrow & \uparrow \\ \hdashline \bbox[yellow, 3px]{0} & \bbox[yellow, 3px]{0} & \bbox[yellow, 3px]{0} & \bbox[yellow, 3px]{1} & 4 & \times (-1) & \times 3 & \times (-3) \\ \hdashline \end{array}

Čím sme získali konečné riešenie: \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 4 \end{pmatrix}