MATEMATICKÁ ČÍTANKA

Obsah

3.1 Riešenie rovníc

Vyriešiť (jednu) rovnicu s (jednou) neznámou $\bf{x}$ (ktorá nadobúda hodnoty z nejakej množiny $\bf{D}$, tzv. "oboru premennej [1] "), znamená nájsť všetky také hodnoty premennej (takzvané "korene" rovnice), pre ktoré platí:

    $\bf{Ľ(x) = P(x) \land x \in D}$, kde $\bf{Ľ(x)}$ aj $\bf{P(x)}$ sú výrazy premennej $\bf{x}$.

V minulosti (kým neexistovali prostriedky výpočtovej techniky), matematici sa snažili vypracovať také metódy na riešenie rovníc, aby sa korene rovnice dali vyjadriť pomocou vzorcov obsahujúcich len koeficienty rovnice (a konštanty), v ktorých sa používajú len operácie sčitovania, násobenia, delenia a symboly odmocnín. Ich úsilie bolo korunované úspechom pre niektoré špeciálne rovnice. Napríklad poznáme vzorce na riešenie niektorých polynomických rovníc, t.j. rovníc typu:

    $\bbox[yellow, 5px]{\bf{a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1}+...+ a_1x + a_0=0}}$, pokiaľ je $\bf{n \leq 4}$.

Prípadom $\bf{n = 1}$ t.j. tzv. lineárnymi rovnicami a ich sústavami sa budeme zaoberať v nasledujúcich kapitolách.

Všimnime si prípad $\bf{n = 2}$, t.j. riešenie ľubovoľnej kvadratickej rovnice:

    $\bbox[yellow, 5px]{\bf{a \cdot x^2 + b \cdot x + c = 0}}$

Ak upravíme (spomeňme si na kapitolu II.2) pravú stranu (predpokladáme $\bf{a \neq 0}$): $$\bf{a \Biggl [ x^2 + \frac{b}{a}x \Biggr ] + c = a \Biggl [ \biggl( x + \frac{b}{2a} \biggr ) ^2 - \frac{b^2}{4a^2} \Biggr ] + c =}$$ $$\bf{a \biggl (x + \frac{b}{2a} \biggr )^2 - \frac{b^2}{4a} + c = a \biggl (x + \frac{b}{2a} \biggr )^2 + \frac{4ac - b^2}{4a}}$$

    Dostávame rovnicu:
$$\bf{\biggl (x + \frac{b}{2a} \biggr )^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}}$$
    Ak je výraz [2] $\bf{b^2 - 4a \geq 0}$ môžeme písať
$$\bf{\biggl (x + \frac{b}{2a} \biggr ) = \Biggl (\frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \Biggr )^2}$$
    Z čoho dostávame známy vzorec:
$$\bbox[yellow, 5px]{\bf{x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}}}$$

Vidíme, že ak je $\bf{b^2 - 41 = 0}$, existuje len jeden koreň $\bf{\frac{-b}{2a}}$, ak je výraz $\bf{b^2 - 4a}$ záporný, rovnica nemá riešenie (v obore reálnych čísel). Ako môžete vidieť v zošite Qvzorec, vyriešiť kvadratickú rovnicu dokáže aj plechová škatuľa (počítač).

Qvzorec

Pripomeňme si, že vzorce na riešenie polynomických rovníc 3. stupňa (tzv. Cardanove) sme uviedli v kapitole I.4 v súvislosti s históriou vzniku komplexných čísel, vzorce pre rovnice 4. stupňa môžete nájsť na http://mathworld.wolfram.com/QuarticEquation.html.

Poznámka 1.

V prípade rovnice, pre ktorú nie je známy "recept" na bezprostredné vyjadrenie koreňov pomocou koeficientov rovnice, sa používajú tzv. úpravy rovnice. Presnejšie povedané, proces riešenia rovnice znamená zostrojenie takej postupnosti rovníc $\bf{Ľ_i(x) = P_i(x)}$, ktorá začína danou rovnicou a končí rovnicou, na ktorej riešenie už existuje štandardný postup. Pritom pre vzťah medzi jednotlivými členmi tejto postupnosti platí: $$\bf{Ľ_i(x) = P_i(x) \Rightarrow Ľ_{i+1}(x) = P_{i+1}(x)}$$

    alebo
$$\bf{Ľ_i(x) = P_i(x) \iff Ľ_{i+1}(x) = P_{i+1}(x)}$$

V prvom prípade hovoríme, že sme použili "dôsledkovú úpravu", v druhom prípade hovoríme o "ekvivalentnej úprave". Ak sme v procese riešenia rovnice použili čo len jednu neekvivalentnú úpravu, musíme urobiť tzv. skúšku, t.j. presvedčiť sa, či korene výslednej rovnice $\bf{Ľ_n(x) = P_n(x)}$ sú koreňmi danej rovnice $\bf{Ľ(x) = P(x)}$

Príklad 1[3] .

Tridsaťštyri žiakov 1.B si kúpilo lístky do kina. Za lacnejšie zaplatili spolu $\bf{1470 Sk}$ a za drahšie (každý bol drahší o $\bf{30 Sk}$) $\bf{1300 Sk}$. Určte koľko stáli oba druhy lístkov a koľko žiakov si ich kúpilo.

Riešenie:

Rovnicu ľahko zostavíme, ak si vstupné údaje zoradíme do tabuľky: $$\begin{array} {|c|c|c|c|} \hline & \bbox[yellow]{Lacnejšie} & O \: 30 \: Sk \: drahšie & Spolu \\ \hline Jednotková \: cena & \bf{x} & \bf{x + 30} & \bf{\emptyset} \\ \hline Cena \: spolu & \bf{1470} & \bf{1300} & \bf{247} \\ \hline Počet \: lístkov & \bf{\frac{1470}{x}} & \bf{\frac{1300}{x + 30}} & \bf{34} \\ \hline \end{array}$$

Dostávame rovnicu $\bf{\frac{1470}{x} + \frac{1300}{x + 30} = 34}$, alebo po úprave $\bf{17x^2 - 875x - 22 050 = 0}$.

Posledná rovnica má dva korene, vzhľadom na kontext úlohy nás zaujíma iba kladný a ten je $\bf{70}$ [4] . Po dosadení za $\bf{x}$ do tabuľky dostávame, že drahšie lístky boli za $\bf{100 Sk}$ a kúpilo si ich $\bf{13}$ žiakov, kým lacnejšie si kúpilo $\bf{21}$ žiakov.

Poznámka 2.

O riešení rovníc typu $\bf{Ľ(x) = 0}$, kde $\bf{Ľ(x)}$ je výraz obsahujúci nejakú špeciálnu funkciu (napr. exponenciálnu, logaritmickú, goniometrickú) budeme hovoriť v kapitolách zaoberajúcich sa týmito funkciami.

V prípade polynomických rovníc viac ako 4. stupňa vzorec na určenie koreňov neexistuje. Nie preto, že by sme ho dosiaľ nepoznali, ale preto že existovať nemôže [ 5]. Rovnako pri riešení mnohých reálnych problémov ich matematizácia vedie k rovnici, na riešenie ktorej nepoznáme žiaden algoritmus, ktorý by po konečnom počte úprav viedol k rovnici, ktorej riešenie sa dá "presne" vyjadriť. Na niekoľkých príkladoch ukážeme niektoré metódy, pomocou ktorých sa dajú nájsť približné riešenia takýchto rovníc. Spoločnou črtou týchto metód je to, že hľadané riešenie môžeme vypočítať s ľubovoľnou presnosťou.