4.1 Polynomické funkcie
Nedostatkom vyučovania pojmov funkcia, funkčná závislosť, je malý súbor príkladov funkcií [1] , pomocou ktorých tento pojem vysvetľujeme. Druhou chybou je neprirodzene rýchle, priam násilné spájanie pojmu funkcia s jej grafom a zanedbávanie inej prezentácie funkcie než funkčným predpisom a grafom. Už grécki matematici poznali rôzne druhy kriviek, definovaných nejakou ich vlastnosťou (kružnica, parabola, elipsa, hyperbola, ...) alebo vzniknuvších nejakým pohyom (pozri cabri výkres Cykloida). Matematici tiež poznali rôzne "relácie" medzi veličinami, ktoré vyjadrovali väčšinou pomocou tabuliek, ako napríklad v našom označovaní funkcie logaritmus a rôzne goniometrické funkcie. Tieto dva druhy objektov bolo možné dať do súvislosti, až keď sa vďaka René Decartesovi začala používať súradnicová sústava.
Uveďme niekoľko netradičných príkladov funkčných závislostí, ktorých sledovanie a skúmanie umožňuje Cabri geometria.
Príklad 1.
Je to klasický problém, aké najdlhšie brvno sa dá premiestniť lomenou chodbou, ktorej ramená majú rôznu šírku.
Na výkrese Funkcie 01 sledujte závislosť dĺžky úsečky XY od polohy bodu X.
Funkcie 01
Príklad 2.
Prednosťou použitia Cabri geometrie je to, že sa môžeme zaoberať aj takými závislosťami, ktorých matematické
vyjadrenie je pre nás ťažko prístupné a môžeme sa sústrediť na pochopenie toho, čo je to (funkčná) závislosť,
čo je to graf funkcie, prečo k tomu potrebujeme súradnicovú sústavu, ako je to napríklad na výkrese Funkcie 02.
Funkcie 02
Príklad 3.
Určte závislosť obsahu trojuholníka $\pmb{ABC}$ so stranami $\pmb{BC = a, AC = b}$ od veľkosti uhla $\pmb{\gamma}$.
Riešenie si pozrite v Cabri výkrese Funkcie 03. Vo výkrese sme použili schopnosť Cabri určiť obsah narysovaného mnohouholníka. Veľkosť uhla $\pmb{\gamma}$. a obsah trojuholníka $P$ sú na obrázku v rôznych mierkach.
Úlohy
-
Do jednotkového štvorca $\pmb{ABCD}$ je vpísaný štvorec $\pmb{KLMN}$ (bod $\pmb{K}$ je ľubovoľným bodom úsečky $\pmb{AB}$). Bod $\pmb{O}$ je priesečníkom úsečky $\pmb{LN}$ a priamky rovnobežnej s $\pmb{AD}$, idúcej cez bod $\pmb{K}$ (pozri obrázok vľavo). Veľkosť úsečky $\pmb{KO}$ závisí od polohy bodu $\pmb{K}$. Rôzne polohy bodu $K$ vytvoria akúsi krivku (na obrázku je červená).
-
Čo vyjadruje dĺžka úsečky $KO$?
-
Označme ako $\pmb{x}$ dĺžku úsečky $\pmb{AK}$ a dĺžku úsečky $\pmb{KO}$ ako $\pmb{y}$. Vyjadrite $\pmb{y}$ ako funkciu $\pmb{x}$.
(Pozrite si Cabri výkres Funkcie 04.)
-