MATEMATICKÁ ČÍTANKA

Príklad 1.

Na obrázku vidíte kruhovú podložku s vonkajším priemerom $\pmb{D}$ a s kruhovým otvorom pre skrutku s priemerom $\pmb{d}$. Odseknutím dvoch rovnobežných kruhových odsekov chceme dosiahnuť, aby celková hmotnosť podložky bola 75% hmotnosti celej kruhovej podložky. Pritom dĺžka $\pmb{k}$ kritickej úsečky nesmie byť menšia ako $\pmb{\frac{d}{2}}$.

Aká bude šírka $\pmb{x}$ takto odľahčenej podložky?

O parametroch $\pmb{d, D}$ predpokladajte, že $\pmb{D \in \{5; 10; 15; 20; 25; 30\}, d \in N, d \geq 3, d \leq D/3}$

Navrhujeme zvoliť ako premennú stredový uhol $\pmb{\varphi}$ (pozri pravý obrázok) a až v závere dopočítať hľadanú šírku $\pmb{x}$ odľahčenej podložky. Keďže objem podložky je úmerný plošnému obsahu, budeme hľadať taký uhol $\pmb{\varphi}$, pre ktorý bude obsah redukovanej podložky rovný 75% obsahu pôvodnej podložky.

Pre obsah $\pmb{P}$ celej podložky platí: $\pmb{P = \frac{\pi (D^2 - d^2)}{4}}$, pre obsah $\pmb{O}$ kruhového odseku platí: $$\pmb{O = \frac{\varphi}{2 \pi} \frac{\pi D^2}{4} - \frac{1}{2} \frac{D^2}{4} sin \varphi = \frac{D^2(\varphi - sin \varphi)}{8}}$$

keďže dva odseky majú byť rovné štvrtine pôvodného obsahu dostávame rovnicu:

$$\pmb{\frac{\pi(D^2 - d^2)}{16} = \frac{D^2(\varphi - sin \varphi)}{4}}$$

alebo po úprave

$$\bbox[yellow, 5px]{\pmb{\varphi - sin \varphi = \frac{\pi(D^2 - d^2)}{4D^2}} \qquad(*)}$$

Ak si uvedomíme, že $\pmb{cos \Bigl(\frac{\varphi}{2} \Bigr) = \frac{k + \frac{d}{2}}{\frac{D}{2}} = \frac{2k + d}{D}}$ dostáva obmedzujúca podmienka tvar: $$\bbox[yellow, 5px]{\pmb{cos \biggl ( \frac{\varphi}{2} \biggr ) \geq \frac{2d}{D}} \qquad (**)}$$

Poznamenajme, že z kontextu úlohy vieme, že parametre $\pmb{D, d}$ sú prirodzené čísla (rozmery podložiek sú udávané v milimetroch), a šírku $\pmb{x}$ stačí určiť s presnosťou na desatiny.

Na obrázku vidíte riešenie nášho príkladu pomocou softvéru Cabri II plus.

Otvorte si výkres Podložka.

Výkres je interaktívny. Sami si môžete voliť hodnoty vstupných parametrov $\bf{D}$ a $\bf{d}$, GeoGebra nakreslí graf funkcie $\bf{y = x - \sin x}$ (ten nezávisí od týchto parametrov) aj priamku $\bf{y = \frac{\pi(D^2 - d^2)}{4D^2}}$ a určí súradnice ich priesečníka. Paralelne vykreslí podložku s aktuálnymi rozmermi vrátane vypočítanej hrúbky odľahčenej podložky. Užívateľ si musí sám skontrolovať splnenie podmienky riešiteľnosti, t. j. či platí: $$\bf{cos\bigg(\frac{x}{2}\bigg)\geq \frac{2d}{D} }$$

Rovnica $(^*)$ sa dá riešiť aj pomocou Excelovského nástroja „Hľadanie riešenia“. Presnosť tohto nástroja je obmedzená, ale pre praktické účely to obyčajne postačuje. Pozrite si zošit Podložka. V 1. hárku v bunke C7 je pomocou „riešiteľa“ vyriešená rovnica $(^*)$, v bunke D7 je príslušná šírka $\bf{b}$ odľahčenej podložky a v bunke E7 je testovaná podmienka $(^{**})$.

Podložka - 1. hárok

Pre praktické účely je niekedy vhodné uviesť všetky riešenia pre prípustné hodnoty parametrov v prehľadnej tabuľke. Pozrite si 2. hárok zošitu Podložka a doplňte tam uvedenú tabuľku (pomocou hárku 1.).

Podložka - 2. hárok