MATEMATICKÁ ČÍTANKA

Existuje jeden didaktický problém. Patrí poučenie o komplexných číslach do tej časti stredoškolskej matematiky, ktorú majú poznať všetci žiaci? V reálnom živote ich budú potrebovať len profesionálni matematici (vrátane niektorých učiteľov matematiky) a špičkoví výskumní pracovníci. Pozrime sa stručne na históriu vzniku komplexných čísel, možno tam nájdeme odpoveď na našu otázku.

Riešenie rovníc tretieho stupňa dnes už málokto považuje za problém. Ak máme vyriešiť napríklad rovnicu: $$\bf{x^3 + 6 \cdot x^2 + 6 \cdot x + 5 = 0} \qquad{(1)}$$ a stačí nám približné riešenie, máme viacero možností:

Pokúsme sa sledovať, ako riešili kubické rovnice talianski matematici na prelome 15. a 16. storočia.

Najprv sa snažili odstrániť kvadratický člen. Namiesto premennej $\bf{x}$ vložili novú premennú, t.j. použili substitúciu. $$\bf{x = y + a}\qquad{(K)}$$ a to takú, aby nový výraz s premennou $\bf{y}$ už neobsahoval kvadratický člen. Po úpravách výrazu na ľavej strane rovnice dostaneme: $$\bf{(y + a)^3 + 6 \cdot (y + a)^2 + 6 \cdot (y + a) + 5 =}$$ $$\bf{y^3 + 3a \cdot y^2 + 3a^2 \cdot y + a^3 + 6 \cdot y^2 + 12a \cdot y + 6a^2 + 6\cdot y + 6a + 5 =}$$ $$\bf{y^3 + (3a + 6) \cdot y^2 + (3a^2 + 12a + 6) \cdot y + a^3 + 6a^2 + 6a + 5}$$

Ak položíme $\bf{a = - 2}$, tak po substitúcii $\bf{x = y - 2}$ dostávame novú rovnicu: $$\bf{y^3 - 6 \cdot y + 9 = 0} \qquad{(2)}$$ ktorá už neobsahuje kvadratický člen.

Komu ako prvému prišla na um myšlienka urobiť ďalšiu substitúciu: $$\bf{y = u + v} \qquad{(S1)}$$ už asi nezistíme, ale po tejto, zatiaľ "neurčitej" substitúcii (neurčitej preto, že síce poskytuje možnosť zo známych hodnôt $\bf{u, v}$ vypočítať hodnotu $\bf{y}$, ale nie naopak) postupne dostávame: $$\bf{(u + v)^3 - 6(u + v) + 9 = 0}$$ $$\bf{u^3 + v^3 + 3u^2v + 3uv^2 - 6(u + v) + 9 = 0}$$ $$\bf{u^3 + v ^3 + 3uv(u + v) - 6(u + v) + 9 = 0}$$ $$\bf{u^3 + v ^3 + (3uv - 6)(u + v) + 9 = 0 \qquad{(3)}}$$

Teraz využijeme fakt, že substitúcia $S1$ nebola úplná. Doplníme ju o ďalšiu podmienku pre premenné $\bf{u, v}$ a to tak, aby sa rovnica $3$ čo najviac zjednodušila. Pretože položíme $$\bf{3uv = 6 \qquad{(S2)}}$$

takže dostávame rovnicu: $$\bf{u^3 + v^3 = -9 \qquad{(4)}}$$

Všimnime si posledné dve rovnice. Možno by z nich šlo vypočítať neznáme $\bf{u, v}$. Stačí rovnice napísať v tvare: $$\bf{u^3 \cdot v^3 = 8}$$ $$\bf{u^3 \cdot v^3 = - 9}$$

a vidíme, že čísla $\bf{u^3, v^3}$ sú koreňmi kvadratickej rovnice: $$\bf{t^2 + 9t + 8 = 0 \qquad{(R)}}$$

Jej diskriminant je $\bf{49}$ a hľadané korene sú: $\bf{u^3 = -1, \, v^3 = -8}$. Teda $\bf{u = -1, \, v = -2}$ a $\bf{y = u + v = -3}$

Pôvodná rovnica $(1)\, \bf{x^3 + 6 \cdot x^2 + 6 \cdot x + 5 = 0}$ má koreň $\bf{x = y - 2 = -5}$ o čom sa môžeme presvedčiť pomocou Hornerovej schémy: $$\begin{array} {|c|c|} \hline & 1 & 6 & 6 & 5 \\ \hline -5 & 1 & 1 & 1 & 0\\ \hline \end{array}$$

Navyše sme zistili, že $\bf{x^3 + 6 \cdot x^2 + 6 \cdot x + 5 = (x + 5) \cdot (x^2 + x + 1)}$, takže číslo $\bf{-5}$ je jediným reálnym koreňom rovnice $(1)$.

Pre vtedajších matematikov tento spôsob riešenia bol "ars magna", čiže "veľké umenie" a starostlivo si ho strážili.

Navyše nie vždy fungoval. Boli také rovnice ako napríklad: $$\bf{x^3 - 12 \cdot x + 16 = 0 \qquad(5)}$$ kde po substitúcii $\bf{x = u + v}$ vznikla rovnica: $$\bf{(u + v)^3 - 12(u + v) + 16 = 0}$$ $$\bf{u^3 + v^3 + 3u^2v + 3uv^2 - 12(u+v) + 16 = 0}$$ $$\bf{u^3 + v^3 + (3uv - 12)(u + v) + 16 = 0}$$

Po doplnení o ďalšiu podmienku pre premenné $\bf{u, v}$ $$\bf{3uv = 12}$$ Dostávame rovnicu: $$\bf{u^3 + v^3 = -16}$$ Ak posledné dve rovnice napíšeme v tvare: $$\bf{u^3 \cdot v^3 = 64}$$ $$\bf{u^3 + v^3 = - 16}$$ vidíme, že čísla $\bf{u^3, v^3}$ sú koreňmi kvadratickej rovnice: $$\bf{t^2 + 16t + 64 = 0}$$ Jej diskriminant je $\bf{0}$ a hľadané korene sú: $\bf{u^3 = v^3 = -8}$. Teda $\bf{u = v = -2}$ a $\bf{x = u + v = -4}$