1.1 Prirodzené čísla
Zo všetkých strán nás obklopujú najrôznejšie informácie. Väčšina z nich má kvantitatívny charakter – vyjadrujú množstvá či poradie nejakých objektov, informujú nás o tvaroch, mierach a umiestení týchto objektov v priestore, informujú nás o rôznych veličinách a ich vzájomných vzťahoch. Od ich rýchleho spracovania, posúdenia a správneho vyhodnotenia mnohokrát záleží ako sa rozhodneme a to nielen v takej banálnej veci kde a čo nakúpiť, ale aj v takých závažných rozhodnutiach ako napr. - v akej oblasti sa budeme vzdelávať, aké povolanie si chceme vybrať, ako máme naložiť so svojimi financiami, prečo, ako a kde sa máme poistiť.
Ako zapisujeme čísla
V tejto časti si budeme všímať ako narábať s informáciami, ktoré majú číselnú podobu. Pozrime sa najprv na čísla, ktoré vyjadrujú počet objektov v (konečných) skupinách objektov. Tieto čísla voláme prirodzené čísla.
Dobre si všimnite nasledujúce riadky obrázkov:
Čo majú spoločné?
Ak odhliadneme od toho, že všetky boli nakreslené pomocou programu LogoMotion, tak ich jedinou spoločnou vlastnosťou je počet zobrazených objektov. V každom riadku sú zobrazené štyri objekty.
Schopnosť počítať, t. j. priradiť skupine objektov ich počet, je asi rovnako stará ako homo sapiens. Zároveň so vznikom písma začala aj história záznamu čísel v písomnej podobe [1] .
Prvé záznamy nejakej číselnej hodnoty sú známe už z obdobia lovcov mamutov. Sú to vrypy na rôznych kostiach a pripomínajú záznam na podložke pod pivovým pohárom, ktorým si čašník označuje počet pív, ktoré hostia pri danom stole vypili:
Čašník používa dve „číslice“ 卌 pre číslo 5 a ⎸pre číslo 1. Ak chce napísať číslo dvadsaťsedem, použije päť symbolov pre číslo 5 a dva symboly pre číslo 1. Takémuto spôsobu zápisu sa hovorí aditívny. Podobne zapisovali čísla v starom Egypte. Mali zvláštne symboly pre mocniny desiatky:
Ak chceli napísať napr. $\pmb{276}$ urobili to takto:
Podobne postupovali Rimania, ktorí by to isté číslo zapísali ako $\pmb{CCLXXVI}$. Že rímsky (a každý aditívny) zápis čísel je nevýhodný, ak chceme robiť s číslami nejaké operácie, spoznáte pri riešení nasledujúceho príkladu.
Príklad 1.
Na hrobe jedného básnika je napísané: $\bf{^* MDCCCXCI \: \dagger \: MCMLXXXIX}$. Koľko rokov žil?
Riešenie:
Najprv v rímskom zápise oddeľme od seba skupiny symbolov, ktoré označujú jedno číslo, potom tieto prepíšeme
"našim" spôsobom a sčítame:
$M \, D \, C \, C \, C \, XC \, I = 1000 + 500 + 100 + 100 + 100 + 90 + 1 = 1981$
$M \, CM \, L \, X \, X \, X \, IX = 1000 + 900 + 50 + 10 + 10 + 10 + 9 = 1989$
Jednoduchým odčítaním zistíme, že básnik žil $1989 - 1891 = 98$ rokov.
Ako tú istú úlohu riešil rímsky žiačik
(asi pomocou počítadla).
Rímsky zápis čísiel
V rímskom systéme sa okrem základných symbolov M, D, C, L, X, V, I používali aj "zložené" symboly preto zápis väčších čísel a najmä operácie s nimi boli neprehľadné. Po premenení našich čísel len na základné symboly dostávame:
$$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline & \cellcolor{cyan} \bf{Menšenec} & \cellcolor{lightblue} \bf{Upravený \, menšenec} & \cellcolor{#00FF00} \bf{Menšiteľ} & \cellcolor{red} \bf{Rozdiel}\\ \hline & \cellcolor{cyan} MCMLXXXIX &\cellcolor{lightblue} & \cellcolor{#00FF00}MDCCCXCI &\cellcolor{red} \\ \hline Tisícky & \cellcolor{cyan}M & \cellcolor{lightblue}M & \cellcolor{#00FF00}M &\cellcolor{red} - \\ \hline Päťstovky & \cellcolor{cyan}D & \cellcolor{lightblue}D & \cellcolor{#00FF00}D &\cellcolor{red} - \\ \hline Stovky & \cellcolor{cyan}C,C,C,C & \cellcolor{lightblue}C,C,C & \cellcolor{#00FF00}C,C,C &\cellcolor{red} - \\ \hline Päťdesiatky & \cellcolor{cyan}L & \cellcolor{lightblue}L,L &\cellcolor{#00FF00} L &\cellcolor{red} L \\ \hline Desiatky & \cellcolor{cyan}X,X,X & \cellcolor{lightblue}X, X, X, X, X, X, X, X & \cellcolor{#00FF00}X,X,X,X &\cellcolor{red} X,X,X,X \\ \hline Päťky & \cellcolor{cyan}V & \cellcolor{lightblue}V & \cellcolor{#00FF00}- &\cellcolor{red} V \\ \hline Jednotky & \cellcolor{cyan}I, I, I, I & \cellcolor{lightblue}I, I, I, I, &\cellcolor{#00FF00} I & \cellcolor{red} I,I,I \\ \hline \end{array} $$Výrazne "modernejší" bol systém, ktorý používali v Babylone. Mali zvláštne symboly pre čísla od $1$ do $59$ (zložené zo symbolov pre jednotku a desiatku):
V ich systéme však hrala významnú úlohu pri zápise čísla nielen samotná číslica reprezentujúca určité číslo, ale aj pozícia, na ktorej bola táto číslica napísaná.
Zápisom na tomto obrázku neoznačovali číslo $\bf{1 + 57 + 46 + 40}$, ale číslo $\bf{1 \cdot 60^3 + 57 \cdot 60^2 + 46 \cdot 60 + 40}$, čo je v našej desiatkovej sústave $\bf{424 \, 000}$.
Ak odhliadneme od počtu "jednociferných" čísel (v Babylone ich mali 60) bola ich číselná sústava rovnaká ako naša.