MATEMATICKÁ ČÍTANKA

Záporné čísla

Záporné čísla dlho bojovali o svoje miesto pod slnkom. Príčinou bolo asi to, že v najvážnejších aplikáciach matematiky nikomu nechýbali. Napríklad Slovenská sporiteľňa ešte v sedemdesiatych rokoch minulého storočia používala v styku s klientmi len kladné čísla. Vaše dlhy sporiteľni boli proste označené červenou farbou. Výsledný stav účtu bola absolútna hodnota rozdielu súčtu modrých (kladných) čísel a súčtu červených čísel. Jeho farba bola taká, aká bola farba (v absolútnej hodnote) väčšieho čísla.

Podobne v algebre boli rovnice väčšinou matematizáciou nejakej reálnej situácie a z kontextu úlohy obvykle vyplývalo, že zmysluplné riešenie musí byť kladné číslo.

Najvážnejší prelom v zavedení záporných čísel znamenalo úsilie dvoch francúzskych matematikov ^{[ 2, 3]} v 1. polovici 17. storočia, charakterizovať číslom nielen veľkosť (obvykle nejakej úsečky), ale aj polohu bodu na priamke, alebo pomocou dvojice čísel polohu bodu v rovine, či dokonca pomocou trojice čísel polohu bodu v priestore. Tak sa matematici dopracovali k pojmom: číselná os (a súradnicová sústava v rovine a v priestore, ktorými sa budeme zaoberať neskôr).

Ak si pozorne všimnete výkresy Q++ a Qx, zistíte (ak budete voliť sčítance, či súčinitele aj na polpriamke opačnej k polpriamke $\bf{O1}$), že operácie sčitovania a násobenia sa dajú prirodzeným spôsobom rozšíriť aj na záporné čísla.

Racionálne čísla možno zapisovať dvoma spôsobmi:

• ako zlomok $\bf{\frac{p}{q}}$, kde $\bf{p}$ je ľubovoľné celé (t.j. prirodzené, alebo nula, alebo číslo opačné k prirodzenému) číslo a $\bf{q}$ je prirodzené číslo,

• ako desatinné číslo.

Prechod od zlomku k desatinnému číslu je zrejmý - stačí použiť algoritmus nazývaný písomné delenie. Napríklad $\bf{\frac{3}{7}}$ prevedieme na desatinné číslo delením. $$\begin{array} {cc} 3 & : & 7 & = & 0 & , & \cellcolor{lime}4 & \cellcolor{lime} 2 & \cellcolor{lime} 8 & \cellcolor{lime} 5 & \cellcolor{lime} 7 & \cellcolor{lime} 1 & 4\\ 3 & 0\\ & 2 & 0\\ && 6 & 0\\ &&& 4 & 0\\ &&&& 5 & 0\\ &&&&& 1 & 0\\ &&&&&& 3 & 0\\ &&&&&&& 2\\ \end{array}$$

Pokračovať v delení nemá zmysel, cifry sa budú opakovať. Takémuto desatinnému číslu hovoríme periodické, označujeme $\bf{0.\overline{428571}}$ a skupinu čísel $\bf{428571}$ voláme periódou.

Poznámka

Podiel $\bf{\frac{3}{7}}$ realizovaný v dvojkovej sústave dáva nasledovný diadický rozvoj: $$\begin{array} {ccccccccccccc} 1 & 1 & : & 1 & 1 & 1 & = & 0 & , & \cellcolor{yellow} 0 & \cellcolor{yellow} 1 & \cellcolor{yellow} 1 & 0\\ 1 & 1 & 0\\ 1 & 1 & 0 & 0\\ & 1 & 0 & 1 & 0\\ &&& 1 & 1 & 0\\ \end{array}$$

Uvedieme ešte príklad na opačnú činnosť - prevedenie desatinného čísla (alebo rozvoja čísla pri danom základe) na zlomok.

Nech $\bf{a = 0.123123...}$ $$\begin{array} {cccccc} 1 & 0 & 0 & 0 & a = & 1 & 2 & 3 & , & \bar 1 & \bar 2 & \bar 3 \\ & & & & a = & & & 0 & , & \bar 1 & \bar 2 & \bar 3\\ \hline & 9 & 9 & 9 & a = & 1 & 2 & 3 & \\ \end{array}$$ $$a = \frac{123}{999}$$