MATEMATICKÁ ČÍTANKA

Ak použijeme Hornerovu schému: $$\begin{array} {|c|c|} \hline & 1 & 0 & -12 & 16 \\ \hline -4 & 1 & -4 & 4 & 0\\ \hline \end{array}$$ Tak zisťujeme, že $$\bf{x^3 - 12 \cdot x + 16 = (x + 4) \cdot (x^2 - 4x + 4) = (x + 4) \cdot (x - 2) \cdot (x - 2)}$$ čiže číslo $\bf{-4}$ nie je jediným koreňom rovnice. Aj číslo $\bf{2}$ je koreňom rovnice $(5)$, dokonca tzv. dvojnásobným.

Neriešiteľným sa zdal prípad, keď rovnica očividne mala riešenie, ale hore uvedený spôsob viedol do slepej uličky. Pozrime sa na rovnicu: $$\bf{x^3 - 6 \cdot x + 4 = 0 \qquad (6)}$$

Po substitúcii $\bf{x = u + v}$ už zaužívaným spôsobom dostávame: $$\bf{u^3 + 3uv(u + v) + v^3 - 6 (u + v) + 4 = 0}$$ $$\bf{3uv - 6 = 0, uv = 2}$$ $$\bf{u^3 + v^3 = -4}$$ $$\bf{u^3 \cdot v^3 = 8}$$

Teda čísla $\bf{u^3, v^3}$ sú koreňmi kvadratickej rovnice $\bf{t^2 + 4 \cdot t + 8 = 0}$ tá však nemá riešenie, lebo jej diskriminant je záporný ($\bf{-16}$). Napriek tomu ale rovnica $(6)$ očividne má korene, ak si všimneme graf G03 funkcie $\bf{y = x^3 - 6 \cdot x + 4}$ bezprostredne vidíme, že jeden koreň je číslo $2$.

Tak zisťujeme, že $$\bf{x^3 - 6 \cdot x + 4 = (x - 2) \cdot (x^2 + 2x - 2) =}$$ $$\bf{= (x - 2) \cdot (x + 1 + \sqrt{3}) \cdot (x + 1 - \sqrt{3})}$$ čiže rovnica $(6)$ napriek tomu, že náš spôsob riešenia naznačuje, že nemá riešenie, má tri rôzne korene.

Pozrime sa na tento problém všeobecne. Ak riešime rovnicu $$\bf{x^3 + p \cdot x + q = 0 \qquad (7)}$$ tak po substitúcii $\bf{x = u + v}$ dostávame: $$\bf{u^3 + v^3 + (3uv + p)(u + v) + q = 0}$$ ak dodatočne určíme substitúciu vzťahom $\bf{uv = - \frac{p}{3}}$ dostaneme dve rovnice: $$\bf{u^3 + v^3 = -q,}$$ $$\bf{u^3v^3 = - \biggl (\frac{p}{3} \biggr )^3}$$ takže čísla $\bf{u^3, v^3}$ sú koreňmi kvadratickej rovnice: $$\bf{t^2 + q \cdot t - \biggl (\frac{p}{3} \biggr )^3 = 0}$$

Ak je diskriminant $\bf{q^2 + 4 \cdot (\frac{p}{3})^3 }$ nezáporný, dostávame: $$\bf{u^3, v^3 = \frac{-q \pm \sqrt{q^2 + \biggl(\frac{p}{3}\biggr)^3}}{2} = \bbox[lime, 5px]{- \frac{q}{2} \pm \sqrt{\biggl(\frac{q}{2}\biggr)^2 + \biggl(\frac{p}{3}\biggr)^3 } } }$$ čo je známe pod názvom Cardanov^[2] vzorec.