MATEMATICKÁ ČÍTANKA

Zaujímavé je, že ak je výraz $\bf{\Bigl(\frac{q}{2}\Bigr)^2 + \Bigl(\frac{p}{3}\Bigr)^3 }$:

• kladný, tak rovnica $(7)$ má jediný (reálny) koreň,

• nulový, tak rovnica $(7)$ má dva korene, z toho jeden tzv. dvojnásobný,

• záporný, tak rovnica $(7)$ má tri rôzne reálne korene.

Svedčia o tom naše konkrétne ukážky, ale neskôr dokážeme že graf funkcie:

$\bf{y = x^3 + p \cdot x + q}$

Ak by sme v našom poslednom príklade rovnice

$\bf{x^3 - 6 \cdot x + 4 = 0}$

$\bf{u^3, v^3 = -2 \pm \sqrt{-4} = -2 \pm 2 \sqrt{-1} \qquad (8) }$

Tento prípad (nazvali ho „casus irreducibilis“) bol pre našich predkov nevysvetliteľný. Pri riešení rovníc, ktoré mali očividne tri korene, narazili na výrazy, ktoré nemajú zmysel, konkrétne na odmocniny zo záporných čísel. Až Rafael Bombelli dostal podobný nápad ako Kolumbus (keď mal tento postaviť vajce na stôl tak, aby pevne stálo, tresol s ním o stôl, takže sa rozbilo, ale stálo):

„Ak sa pri riešení rovníc 3. stupňa nemôžeme zaobísť bez používania výrazov, ktoré nemajú zmysel, tak treba tieto výrazy používať“.

Vo svojej knihe „Algebra“, ktorá vyšla až v roku 1572, rok pred jeho smrťou, prvý popísal ako sčitovať a násobiť tieto „výrazy bez zmyslu“.

Aby nás odmocniny zo záporných čísel zbytočne „nedráždili“, začal L. Euler^[3] používať pre $\bf{\sqrt{-1}}$ používať symbol $\bf{i}$, (od slova imaginárny, obrazný) a výrazy typu $\bf{a + b \cdot i}$ (kde $\bf{a, b}$ sú reálne čísla) dostali názov komplexné čísla. S výrazmi $\bf{a + b \cdot i}$ sa narábalo ako s normálnymi reálnymi číslami, len pre narábanie s výrazom $\bf{i}$ platilo:

$\bf{i \cdot i = -1}$

Teda $\bf{(a + b \cdot i) + (c + d \cdot i) = (a + b) + (c + d) \cdot i}$

$\bf{(a + b \cdot i) \cdot (c + d \cdot i) = (ac - bd) + (ad + bc) \cdot i}$

Náš problém daný vzťahom $(8)$ je nájsť také čísla $\bf{u, v}$, pre ktoré $\bf{u^3, v^3 = -2 \pm 2i}$

Ak skúsime umocňovanie na „vhodných“ príkladoch: $$\begin{align} &\bf{(1 + i)^2 = 1 + 2i + i^2 = 2i} \\ &\bf{(1 + i)^3 = 2i \cdot (1 + i) = 2i + 2i^2 = -2 + 2i} \\ &\bf{(1 - i)^2 = 1 - 2i + i^2 = -2i} \\ &\bf{(1 - i)^3 = -2i \cdot (1 - i) = -2i + 2i^2 = -2 -2i} \end{align}$$ vidíme, že riešením problému (pozri $(8)$ z predchádzajúcej strany) sú čísla $\bf{u = 1 + i, v = 1 – i}$, teda jedným koreňom rovnice

$\bf{x^3 - 6 \cdot x + 4 = 0}$

V závere ukážeme len myšlienku dvoch ľudí, C. F. Gaussa a J. R. Arganda ^{[ 4]} – znázorňovať komplexné čísla ako body roviny. Presnejšie, komplexnému číslu $\bf{a + b \cdot i}$ priradíme bod roviny, ktorého súradnice sú $\bf{[a ; b]}$. Ako vyzerá v tejto interpretácii sčitovanie a násobenie komplexných čísel, si môžete pozrieť v cabri výkresoch C, + a C, x.

Mohli by sme ukázať ako pokračoval vývoj pojmu komplexného čísla, ukazovať príklady použitia komplexných čísel na popis zhodných a podobných zobrazení v rovine, ukázať aplikácie komplexných čísel v elektrotechnike pri riešení obvodov so striedavými prúdmi, v aerodynamike (schopnosť používať konformné zobrazenia pri transformácii aerodynamických profilov), pri riešení problémov konvergencie nekonečných radov, či určovaní okrajových podmienok pri riešení diferenciálnych rovníc^[5]. Avšak to už je určené len veľmi úzkej skupine ľudí.

Ale komplexné čísla, presnejšie história ich vzniku, sú aj ukážkou schopností ľudského ducha. Objav komplexných čísel je o to pozoruhodnejší, že komplexné čísla sa vymykajú z bežného chápania pojmu čísla, pretože, ľudovo povedané, sa nimi nič nemeria. Nepatrí objav komplexných čísel, história ich vzniku tak isto do pokladnice svetovej kultúry ako dielo Bombelliho súčasníka Michelangela Buonarottiho? Iste patrí, obe diela obohatili pojem „človek“ o novú kvalitu. Takže, preto sa patrí niečo vedieť o komplexných číslach.