Motto
Za väčšinu toho čo viem, vďačím svojim žiakom.
$\bf{\frac{1}{7} = (0. \overline {001})_2, \frac{1}{11} = (0. \overline {0001011101})_2, \frac{1}{13} = (0. \overline {0001001110 \, 11}_2)}$ ostatné si musíte dopočítať sami.
Využívajúc Experiment 2 sme zistili: $\bf{\frac{1}{7} = 0. \overline{142857}, \frac{1}{17} = 0. \overline{0588235294 \, 117647}, \frac{1}{19} = 0. \overline{0526315789 \, 47368421}}$.
Experiment 2
Nech $\bf{x = (0. \overline{101100})_2}$, potom $\bf{64 \cdot x = (101100. \overline{101100})_2}$ a $\bf{63 \cdot x = (101100)_2 = 44}$. Preto $\bf{\frac{44}{63}}$.
Je to dôsledok toho, že pri delení čísel $\bf{1, 2, 3, 4, 5, 6}$ sa tiež iba mení poradie cifier. Pozri tiež Experiment 2.
Riešenie prémiovej úlohy zasielajte autorovi na adresu +421905332034@orangemail.sk
Riešenie.
Riešenie.
Máme dokázať $\bf{\forall \, a, b \in \mathbb{R} \forall \, k, m \in \mathbb{N}: (a^k)^m = a^{k \cdot m}}$.
1. podmienka hovorí, že rovnosť má platiť pre $\bf{k = 1}$ a $\bf{m = 1}$, čo zrejme platí.
2. podmienka hovorí, že ak naša rovnosť platí pre $\bf{k}$ a $\bf{m}$, tak platí aj pre $\bf{k + 1}$ a $\bf{m: (a^{k+1})^m = }$ (podľa DN) $\bf{= (a^k \cdot a)^m = }$ (vďaka výsledku príkladu 1.) $\bf{(a^k)^m \cdot a^m = }$ (podľa ind. predpokladu) $\bf{= a^{k \cdot m} \cdot a^m = }$ (vďaka výsledku príkladu 1.) $\bf{a^{k \cdot m + m} = a^{(k + 1) \cdot m2}}$ čo sme chceli dokázať.
3. podmienka hovorí, že ak naša rovnosť platí pre $\bf{k}$ a $\bf{m}$, tak platí aj pre $\bf{k}$ a $\bf{m + 1}$ (túto časť dôkazu prenechávame láskavo na čitateľovi).
Dokážeme len $\bf{\forall \, a,b \in \mathbb{R}, a, b \neq 0 \: \forall \, k \in \mathbb{Z}: (a \cdot b)^k = a^k \cdot b^k}$. Pre $\bf{k \neq 0}$ niet čo dokazovať, pre $\bf{k < 0}$ podľa DZ máme: $\bf{(ab)^k = \frac{1}{(ab)^{-k}}}$ a keďže $\bf{-k > 0}$ podľa VN máme: $$\bf{\frac{1}{(ab)^{-k}} = \frac{1}{a^{-k} b^{-k}} = \frac{1}{a^{-k}} \frac{1}{b^{-k}}}$$ čo sa podľa DZ rovná $\bf{a^k \cdot b^k}$.
Podľa experimentu v zošite Diofantos je to číslo $\bf{538}$.
Diofantos
Číslo $\bf{100 + a}$ musí byť deliteľné číslom $\bf{6}$, preto $\bf{a = 2}$. Rovnica má po vykrátení tvar $\bf{5x + 7y = 17}$. Dvojica $\bf{x = 2, y = 1}$ je očividne jej riešenie.