MATEMATICKÁ ČÍTANKA

Príklad 4.

Vyriešte rovnicu s parametrom $\bf{a}$: $$\bf{\sqrt{a - \sqrt{a^2-x^2}} = x}$$

Riešenie:

Skúsme v GeoGebre nakresliť graf $\bf{y = \sqrt{a-\sqrt{a^2-x^2}-x}}$ (závislý na parametri $\bf{a}$), meniť hodnoty parametra $\bf{a}$ a pozorovať priesečníky grafu s osou $\bf{x}$.

GeoGebra

Tento spôsob nám umožní pre každú konkrétnu hodnotu parametra nájsť riešenia rovnice (s vyhovujúcou presnosťou), umožní aj realizovať „kvalitatívnu“ diskusiu riešiteľnosti (t. j. zistiť pre aké hodnoty parametra existujú, resp. neexistujú riešenia, aj zistiť ich počet), ale nám neumožňuje určiť akou funkciou parametra sú príslušné riešenia. Pre väčšinu reálnych problémov takéto riešenie vyhovuje.

Príklad 5.

Vyriešte rovnicu s parametrom $\bf{k \in R: \bigg|\sqrt{x^2+x+3}-3\bigg| + |x-2| = k \cdot x + 3 }$.

Riešenie:

Pomocou GeoGebry sme zostrojili graf (červený) ľavej strany (ktorý nie je závislý na parametri).

GeoGebra

Pravá strana je pomocou parametra $\bf{k}$ vyjadrená množina všetkých priamok, ktoré prechádzajú bodom $\bf{[0; 3]}$. GeoGebra poskytuje možnosť pre aktuálnu polohu priamky určiť súradnice priesečníkov grafu ľavej strany s priamkou. Príklad uvádzame ako výstrahu. Pri pozorovaní situácie pre $\bf{k = 2}$. nedokážeme rozhodnúť či existuje jediné riešenie (je pravá časť červeného grafu polpriamka?). Rovnaká neistota by nastala v situácii pre $\bf{k = -2}$ .

Skúsime ešte EXCEL.

Po experimentovaní s hodnotou parametru $\bf{k}$ v blízkosti čísiel $\bf{\pm 2}$ môžeme konštatovať len toľko, že pre tieto hodnoty parametru buď riešenie neexistuje, alebo je príliš veľké (v absolútnej hodnote).

Omylu sa možno vyhneme použitím lepšieho softvéru, ktorý umožňuje väčší „odstup“, čiže globálnejší pohľad na graf (pozri G12). Ak si súbor otvoríte, môžete si voliť hodnotu parametra $\bf{k}$ a softvér vám ponúka hľadané korene. Môžete si tiež meniť tvar grafu podľa Vašich požiadaviek. Pre kritické hodnoty $\bf{k = \pm 2}$ softvér udáva jediný koreň.

G12

Zdá sa, že bude rozumné vyriešiť konkrétne rovnice pre hodnoty parametru $\bf{k = \pm 2}$.

Pre $\bf{k = 2}$ dostávame $\bf{\bigg\{\sqrt{x^2+x+3}-1\bigg\}+|x-2|=2\cdot x + 3 }$. Pretože hľadáme koreň v intervale $\bf{( 2 ; \infty )}$, kde sú výrazy v oboch absolútnych hodnotách kladné, rovnica má tvar: $\bf{\sqrt{x^2+x+3} = x + 8 }$ čo po ekvivalentnej úprave umocnením dáva $\bf{x+3 = 16x+64}$.

Posledná rovnica očividne v intervale $\bf{( 2 ; \infty )}$ nemá riešenie. (Podobne si doriešte rovnicu pre $k = - 2$ )