MATEMATICKÁ ČÍTANKA

Príklad 2.

Máme rovnicu : $$\bf{\frac{a}{(x+1)(x+2)} + \frac{4a+3}{(x+2)(x+3)} = \frac{1+2a}{(x+3)(x+1)}}$$

Nájdite všetky reálne čísla $a$, pre ktoré táto rovnica nemá žiadny koreň ($x$ je neznáma).

• Použiť iný softvér

• Pred riešením problému rovnicu „vhodne“ upraviť.

Skúsme Excel. Ak si pozriete hárok1 a budete sa pokúšať nájsť riešenie (pomocou nástroja „riešiteľ“) pre rôzne hodnoty parametra, zistíte, že tento nástroj má svoje hranice možností a nedáva riešenie.

Zdá sa, že sa nevyhneme nepopulárnej činnosti - úprave našej rovnice. Po odstránení menovateľov vynásobením rovnice výrazom $\bf{(x + 1)(x + 2)(x + 3)}$ a po drobnej úprave dostávame rovnicu: $$\bf{(3a+2)x = - (3a+1) \qquad (^*)}$$

Aby bola ekvivalentná s našou pôvodnou rovnicou, musí byť $\bf{x \in R \backslash \{-1; \; -2; \; -3\}}$, čím chceme povedať, že čísla $\bf{-1, -2}$ a $\bf{-3}$ nemôžu byť riešením.

Pre $\bf{-\frac{2}{3} }$ rovnica $(^*)$ očividne riešenie nemá, pre ostatné hodnoty parametra $\bf{a}$ máme: $$\bf{-\frac{3a+1}{3a+2} }$$

Preto, ak výraz $\bf{\frac{3a+1}{3a+2}}$, alebo po úprave $\bf{1 - \frac{1}{3a+2}}$ nadobudne hodnotu $\bf{2}$, alebo $\bf{3}$, rovnica nebude mať riešenie. To bude práve vtedy, keď bude $\bf{a \in \bigl\{-1; -\frac{5}{6}\bigr\}}$ . Hodnotu $\bf{1}$ výraz nikdy nenadobudne (Pozri Excel, alebo Parameter ).

Príklad 3.

Vyriešte sústavu troch lineárnych rovníc o troch neznámych s parametrom $c$. \begin{array} \bf{1 \cdot x} & \bf{+} & \bf{3 \cdot y} & \bf{+} & \bf{7 \cdot z} & \bf{=} & \bf{107}\\ \bf{1 \cdot x} & \bf{+} & \bf{4 \cdot y} & \bf{+} & \bf{10 \cdot z} & \bf{=} & \bf{148}\\ \bf{2 \cdot x} & \bf{+} & \bf{3 \cdot y} & \bf{+} & \bf{5 \cdot z} & \bf{=} & \bf{c}\\ \end{array}

Riešenie:

Otvorte si zošit Parameter2. Namiesto parametru $\bf{c}$ sme vložili konkrétnu hodnotu $100$ a riešením sústavy sme získali maticu: \begin{array}{:c:c:} \hdashline\bf{1} & \bf{0} & \bf{-2} & \bf{-16} \\ \hdashline \bf{0} & \bf{1} & \bf{3} & \bf{41} \\ \hdashline \bf{0} & \bf{0} & \bf{0} & \bf{9} \\ \hdashline \end{array}

Čo svedčí o tom, že sústava nemá riešenie, lebo posledná rovnica má tvar: $$\bf{0 \cdot x + 0 \cdot y + 0 \cdot z = 9}$$

Výsledok nám naznačuje, že sústava buď nebude mať riešenie, alebo pre niektorú hodnotu parametra $\bf{c}$ bude mať nekonečne mnoho riešení. Preto použijeme nástroj „riešiteľ“ pre bunku D25 a nastavíme cieľovú hodnotu 0 (vtedy bude mať sústava nekonečne mnoho riešení). Menená bunka bude D5. „Riešiteľ“ nájde riešenie D5 = 91. Pre túto hodnotu parametra $\bf{c}$ bude mať výsledná sústava tvar: \begin{array}{:c:c:} \hdashline\bf{1} & \bf{0} & \bf{-2} & \bf{-16} \\ \hdashline \bf{0} & \bf{1} & \bf{3} & \bf{41} \\ \hdashline \end{array}

Čiže riešenia majú tvar: $$\bf{x = 2t - 16,\; y = -3t + 41,\; z = t}$$