MATEMATICKÁ ČÍTANKA

Čiastočné podiely pri delení $\bf{(2 \cdot x^7 + x^6 - 2 \cdot x^4 - x^3 + 2) : (x - x_0)}$ a zvyšky sme umiestnili do ďalších dvoch stĺpcov tabuľky: $$\begin{array}{|c|c|} \hline\bf{x} & \cellcolor{cyan}\bf{2} & \cellcolor{cyan}\bf{1} & \cellcolor{cyan}\bf{0} & \cellcolor{cyan}\bf{-2} & \cellcolor{cyan}\bf{-1} & \cellcolor{cyan}\bf{0} & \cellcolor{cyan}\bf{0} & \cellcolor{cyan}\bf{2} & \cellcolor{cyan}podiel & \cellcolor{cyan}zvyšok \\ \hline\cellcolor{cyan} \bf{3} & \bf{2}& \bf{7}& \bf{21}& \bf{61}& \bf{182}& \bf{546}& \bf{1638}& \cellcolor{yellow}\bf{4916}& \bf{2x^6 + 7x^5 + 21x^4 + 61x^3 + 182x^2 + 546x + 1638}& \bf{4916} \\ \hline\cellcolor{cyan} \bf{2} & \bf{2}& \bf{5}& \bf{10}& \bf{18}& \bf{35}& \bf{70}& \bf{140}& \cellcolor{yellow}\bf{282}& \bf{2x^6 + 5x^5 + 10x^4 + 18x^3 + 35x^2 + 70x + 140}& \bf{140} \\ \hline\cellcolor{cyan} \bf{1} & \bf{2}& \bf{3}& \bf{3}& \bf{1}& \bf{0}& \bf{0}& \bf{0}& \cellcolor{yellow}\bf{2}& \bf{2x^6 + 3x^5 + 3x^4 + x^3}& \bf{2} \\ \hline\cellcolor{cyan} \bf{0} & \bf{2}& \bf{1}& \bf{0}& \bf{-2}& \bf{-1}& \bf{0}& \bf{0}& \cellcolor{yellow}\bf{2}& \bf{2x^6 + x^5 - 2x^3 - x^2}& \bf{2} \\ \hline\cellcolor{cyan} \bf{-1} & \bf{2}& \bf{-1}& \bf{1}& \bf{-3}& \bf{2}& \bf{-2}& \bf{2}& \cellcolor{yellow}\bf{0}& \bf{2x^6 - x^5 + x^4 - 3x^3 + 2x^2 - 2x + 2}& \bf{0} \\ \hline\cellcolor{cyan} \bf{-2} & \bf{2}& \bf{-3}& \bf{6}& \bf{-14}& \bf{27}& \bf{-54}& \bf{108}& \cellcolor{yellow}\bf{-214}& \bf{2x^6 - 3x^5 + 6x^4 - 14x^3 + 27x^2 - 54x + 108}& \bf{-214} \\ \hline\cellcolor{cyan} \bf{-3} & \bf{2}& \bf{-5}& \bf{15}& \bf{-47}& \bf{140}& \bf{-420}& \bf{1260}& \cellcolor{yellow}\bf{-3778}& \bf{2x^6 - 5x^5 + 15x^4 - 47x^3 + 140x^2 - 420x + 1260}& \bf{-3778} \\ \hline \end{array}$$

Hypotéza o vzťahu medzi delením mnohočlena výrazom $\bf{x - x_0}$ a výpočtom hodnoty mnohočlena v čísle $\bf{x_0}$ podľa Hornerovej schémy je snáď zrejmá.

Možno ste postrehli, že EXCEL je "len" tabuľkový kalkulátor. Na takéto činnosti sú vhodnejšie špecializované softvéry, napr. spomínaný DERIVE.

Delenca napíšeme v tvare polynómu s premennou $\bf{a}$ s parametrami $\bf{b, c}$: $$\begin{array}{l} \bf{(-a^4 + 2(b^2+c^2)a^2 -(b^2 - c^2)^2):(a + b + c) = - a^3 + (b+c)a^2 + (b-c)^2a-(b-c)^2(b+c)}\\ \bbox[red, 3px]{\bf{-a^4 - ba^3 - ca^3}}\\ \bf{+ba^3 + ca^3 + 2(b^2+c^2)a^2 - (b^2-c^2)^2}\\ \bbox[red, 3px]{\bf{+ ba^3 + ca^3 + (b+c)a^2b + (b+c)a^2c}}\\ \bf{(b-c)^2a^2 - (b^2-c^2)^2}\\ \bbox[red, 3px]{\bf{(b-c)^2a^2+(b-c)^2ab+(b-c)^2ac}}\\ \bf{-(b-c)^2(b+c)a-(b^2-c^2)^2}\\ \bbox[red, 3px]{\bf{-(b-c)^2(b+c)a-(b-c)^2(b+c)(b+c)}}\\ \bf{0} \end{array}$$

Vidíme, že delenie skončilo bez zvyšku.

Nech $\bf{a_1, a_2, ... a_n}$ sú ľubovoľné kladné reálne čísla, $\bf{S}$ je ich súčet a $\bf{P}$ je ich súčin. Nech napr. $\bf{a_1}$ je väčšie ako aritmetický priemer čísel $\bf{a_1, a_2, ... a_n}$. Potom zrejme aspoň jedno zo zvyšných čísel musí byť menšie od aritmetického priemeru. Nech je to napr. $\bf{a_2}$. Ak každé z týchto dvoch čísel nahradíme číslom $\bf{a = \frac{a_1 + a_2}{2} }$ potom: $$\bf{a_1 \cdot a_2 \lt \frac{a_1 + a_2}{2} \cdot \frac{a_1 + a2}{2} \iff 4 a_1 \cdot a_2 \lt (a_1 + a_2)^2 \iff 0 \lt (a_1 - a_2)^2}, $$ čo je evidentne pravda.

Našli sme teda čísla $\bf{a, a, a_3, ... a_n}$ , ktorých súčet je opäť $\bf{S}$, ale ktorých súčin je väčší ako $\bf{P}$. Táto úvaha nás oprávňuje vysloviť tvrdenie, že súčin $n$ kladných čísel s daným súčtom $\bf{S}$ je najväčší vtedy, keď sú všetky tieto čísla rovnaké. Potom ale očividne: $$\bf{P = \biggl(\frac{s}{n}\biggr)^n \iff \sqrt[n]{P} = \frac{s}{n} }$$ Nerovnosť medzi harmonickým a geometrickým priemerom sa dá dokázať priamo.