MATEMATICKÁ ČÍTANKA

Hypotéza: $\bf{\bbox[yellow, 3px]{\forall k \in N, : a^{2k-1} + b^{2k-1} = (a+b)(a^{2k-2} - a^{2k-3}b + ... - ab^{2k-3}+b^{2k-2})} \qquad (H^*) }$

Hypotézu (H) dokážeme matematickou indukciou:

Výraz v 2. zátvorke (má $\bf{2k - 1}$ členov) označme $\bf{D_k}$. Teda $$\bf{D_k = \sum_{i = 0}^{k-1}(-1)^i a^{2k-2+i}b^i }$$

Naša hypotéza má teraz podobu: $$\bf{\forall k \in N: a^{2k - 1} + b^{2k - 1} = (a + b)D_k \qquad (H^{**}) }$$

Uvedomme si, že pre každé $\bf{k \gt 1}$ platí: $\bf{a^2 \cdot D_k – b^{2k-1}a + b^{2k} = D_{k+1}}$

1. Hypotéza $(H)$ pre $n = 2$ zrejme platí.

2. Nech $\bf{a^{2k-1} + b^{2k-1} = (a + b)D_k}$ (indukčný predpoklad). Potom: $$\begin{aligned} &\bf{a^{2k - 1} + b^{2k + 1} = a^{2 k + 1} + a^2b^{2k-1} - a^2b^{2k-1} + b^{2k+1} = a^2(a^{2k-1}+b^{2k-1}) - a^2b^{2k-1} + b^{2k+1} = }\\ &\bf{= a^2(a+b)D_k - \bbox[yellow, 3px]{a^2b^{2k-1}} \bbox[lime, 3px]{-ab^{2k}} + \bbox[yellow, 3px]{ab^{2k}} + \bbox[lime, 3px]{b^{2k + 1}} = }\\ &\bf{= a^2(a+b)D_k + \bbox[yellow, 3px]{a(-ab^{2k-1} + b^{2k})} + \bbox[lime, 3px]{b(-ab^{2k-1} + b^{2k})} = a^2(a+b)D_k + (a+b)(-ab^{2k-1} + b^{2k}) = }\\ &\bf{= (a+b)(a^2 \cdot D_k - b^{2k-1} a + b^{2k}) = (a+b)D_{k+1}} \end{aligned}$$ čo sme chceli dokázať.

Podľa 8. príkladu súčet zlomkov $$\bf{\frac{A}{x-a} + \frac{B}{x-b} + \frac{C}{x-c} + \frac{D}{x-d} }$$ Je rovný zlomku, ktorého čitateľ je $\bf{K_3x^3 + K_2x^2 + K_1x + K_0}$, pričom platí: $$\begin{aligned} &\bf{K_3 = A + B + C + D}\\ &\bf{K_2 = - [A(b+c+d) + B(a+c+d) + C(a+b+d) + D(a+b+c)]}\\ &\bf{K_1 = A(bc+cd+db) + B(ac+cd+da) + C(ab+bd+da) + D(ab+bc+ca)}\\ &\bf{K_0 = - (Abcd + aBcd + abCd + abcD)} \end{aligned}$$

Ak dosadíme naše konkrétne hodnoty dostávame sústavu lineárnych rovníc: $$\begin{aligned} &\bf{K_3 = A + B + C + D = 10}\\ &\bf{K_2 = -9A - 8B - 7C - 6D = -70}\\ &\bf{K_1 = 26A + 19B + 14C + 11D = 150}\\ &\bf{K_0 = -24A -12B -8C -6D = -96} \end{aligned}$$ Ktorá je vyriešená v 2. príklade kapitoly 3.2.

Po neúspešných pokusoch v zošite Diferencie sme došli k tomu, že koeficienty $\bf{a, b, c, d}$ polynómu $\bf{P(n) = a \cdot n^3 + b \cdot n^2 + c \cdot n + d}$ určíme z podmienok: $$\begin{array}{cc} \bf{P(0) =} & & & & & & & \bf{d=} & \bf{-1}\\ \bf{P(1) =} & \bf{a} &\bf{+} & \bf{b} & \bf{+} & \bf{c} & \bf{+} & \bf{d=} & \bf{0} \\ \bf{P(2) =} & \bf{8a} & \bf{+} & \bf{4b} & \bf{+} & \bf{2c} & \bf{+} & \bf{d=} & \bf{4}\\ \bf{P(3) =} & \bf{27a} & \bf{+} & \bf{9b} & \bf{+} & \bf{3c} & \bf{+} & \bf{d=} & \bf{13}\\ \end{array}$$

Zmena koeficientu $\bf{a}$ spôsobuje zmenu vo všetkých stĺpcoch tabuľky, $\bf{b}$ nemá vplyv na posledný stĺpec, $\bf{c}$ nemení posledné dva stĺpce a $\bf{d}$ mení len 1. stĺpec.

Ak $\bf{f(n) = a \cdot n^3 + b \cdot n^2 + c \cdot n + d}$, potom $\bf{\Delta f(n) = 3a \cdot n^2 + (3a+2b) \cdot n + (a+b+c)}$, $\bf{\Delta \Delta f(n) = 6a \cdot n + (8a +2b), \; \Delta \Delta \Delta f(n) = 6a}$