Motto
Za väčšinu toho čo viem, vďačím svojim žiakom.
Nájdite všetky trojice $\bf{(a, b, c)}$ prirodzených čísel, pre ktoré platí: $\bf{a^2 + b^2 = c^2 \qquad (1)}$.
Pomocou Excelu (pozri experiment) sme našli niekoľko trojíc:
Experiment 1. hárok
Experiment 2. hárok
Riešenia podfarbené rovnakou farbou sa líšia len násobkom, žlté sú násobkami tzv. primitívnej trojice $\bf{(3, 4,5)}$, modré sú násobkami primitívnej trojice $\bf{(5, 12, 13)}$.
Hľadanie všeobecného riešenia[13] je trošku „umelé“:
Označme $\bf{\frac{a}{c} = x, \frac{b}{c} = y}$, potom rovnica $(1)$ dostáva podobu : $\bf{x^2 + y^2 = 1}$, alebo po úpravách postupne $\bf{y^2 = 1 - x^2, y^2 = (1 – x) \cdot (1 + x), \frac{y}{1+x} = \frac{1 - x}{y}}$, teda existuje taký zlomok $\bf{t = \frac{u}{v}}$, že platí : $\bf{\frac{y}{1 + x} = t}$ a $\bf{t = \frac{1 - x}{y}}$, alebo $\bf{y = (1 + x) \cdot t, y \cdot t = 1 – x}$, po úprave máme 2 rovnice: $\bf{t \cdot x - y = -t, x + t \cdot y = 1}$ ich riešením je dvojica $$\bf{x = \frac{1 - t^2}{1 + t^2} = \frac{1 - \frac{u^2}{v^2}}{1 + \frac{u^2}{v^2}} = \frac{v^2 - u^2}{u^2 + v^2} = \frac{a}{c}, y = \frac{2t}{1 + t^2} = \frac{\frac{2u}{v}}{1 + \frac{u^2}{v^2}} = \frac{2uv}{u^2 + v^2 = \frac{b}{c}}}$$
Z uvedeného vyplýva, že ak čísla $\bf{a, b, c}$ sú Pytagorejská trojka, tak existujú také celé čísla $\bf{k, u, v,}$ že: $$\bf{a = k \cdot (v^2- u^2), \, b = k \cdot 2uv, \, c = k \cdot (v^2 + u^2)}$$
Aby sme dostali primitívne trojice, musíme voliť $\bf{k = 1}$ a čísla $\bf{u, v (v > u)}$ musia byť nesúdeliteľné,
a pritom nie obe nepárne. (Príklady primitívnych trojíc nájdete v Experiment P.)
Experiment P - 1. hárok
Experiment P - 2. hárok
Experiment P - 3. hárok
Nájdite takú Pytagorejskú trojku $\bf{(a, b, c)}$ aby trojica čísel $\bf{(b, c, d)}$ bola tiež Pytagorejská.
Nájdite také Pytagorejské trojky $\bf{(a, b, c)}$ a $\bf{(b, d, e)}$, aby obsah trojuholníka so stranami $\bf{c, a + d, e}$ bol čo najmenší.
Pri riešení oboch úloh použite Excelovský súbor Experiment P.