MATEMATICKÁ ČÍTANKA

Príklad 2.

V trojkovej číselnej sústave máme dané číslo $\bf{č = (\bar 2 \bar 1 \bar 0 \bar 2 \bar 1 \bar 0 \bar 0 \bar 1)_3}$. Napíšte ho v sedmičkovej sústave.

Riešenie:

Vieme, že $$\bf{č = 2 \cdot 3^7 + 1 \cdot 3^6 + 0 \cdot 3^5 + 2 \cdot 3^4 + 1 \cdot 3^3 + 0 \cdot 3^2 + 0 \cdot 3^1 + 1 \cdot 3^0 \qquad(V)}$$ Ak tento zápis vhodne^[2] upravíme, dostaneme: $$\bf{č = (((((((2) \cdot 3 + 1) \cdot 3 + 0) \cdot 3 + 2) \cdot 3 + 1) \cdot 3 + 0) \cdot 3 + 1 \qquad(H)}$$

Vidíme tu sústavu do seba uzavretých zátvoriek. Pre lepšiu orientáciu napíšeme obsahy týchto zátvoriek od najvnútornejšej až po celý výraz: $$\begin{align} &\bf{(0) \qquad 2} \\ &\bf{(1) \qquad (2) \cdot 3 + 1} \\ &\bf{(2) \qquad ((2) \cdot 3 + 1) \cdot 3 + 0} \\ &\bf{(3) \qquad (((2) \cdot 3 + 1) \cdot 3 + 0) \cdot 3 + 2} \\ &\bf{(4) \qquad ((((2) \cdot 3 + 1) \cdot 3 + 0) \cdot 3 + 2) \cdot 3 + 1} \\ &\bf{(5) \qquad (((((2) \cdot 3 + 1) \cdot 3 + 0) \cdot 3 + 2) \cdot 3 + 1) \cdot 3 + 0} \\ &\bf{(6) \qquad ((((((2) \cdot 3 + 1) \cdot 3 + 0) \cdot 3 + 2) \cdot 3 + 1) \cdot 3 + 0) \cdot 3 + 0} \\ &\bf{(7) \qquad (((((((2) \cdot 3 + 1) \cdot 3 + 0) \cdot 3 + 2) \cdot 3 + 1) \cdot 3 + 0) \cdot 3 + 0) \cdot 3 + 1} \end{align}$$

Vidíme, že obsah nultej zátvorky je prvá číslica daného čísla a že obsah ľubovoľnej zátvorky dostaneme tak, že obsah predchádzajúcej vynásobíme základom $\bf{3}$ a pripočítame ďalšiu číslicu. Tento spôsob zápisu nás inšpiruje vypočítať číslo $\bf{č}$ v desiatkovej sústave použitím vhodnej tabuľky takto: $$\begin{array} {|c|c|} \hline & \bf{2} & \bf{1} & \bf{0} & \bf{2} & \bf{1} & \bf{0} & \bf{0} & \bf{1}\\ \hline \bf{3} & 2 & 7 & 21 & 65 & 196 & 588 & 1764 & \cellcolor{yellow} 5293\\ \hline \end{array}$$

V hornom riadku tabuľky^{[ 3]} sú cifry daného čísla, t.j. koeficienty pri mocninách základu číselnej sústavy a v druhom riadku sú hodnoty výrazov $(0)$ až $(7)$.

Naša úloha bude doriešená, ak číslo $\bf{č}$ napíšeme v takom tvare ako je v riadku $\bf{(7)}$, ale miesto trojky tam bude všade sedmička.

Všimnime si riadok $\bf{(7)}$ bližšie. Posledné číslo je zvyšok pri delení čísla $\bf{č}$ tromi, neúplný podiel je vlastne riadok $\bf{(6)}$. Posledné číslo v ňom (t.j. predposledná cifra čísla $\bf{č}$ zapísaného v trojkovej sústave) je zvyšok pri delení riadku $\bf{(6)}$ tromi. Kopírovaním tohto postupu pre sedmičku dostávame: $$\bf{č = 5293 = (756) \cdot 7 + 1 = ((108) \cdot 7 + 0) + 1 =}$$ $$\bf{(((15) \cdot 7 + 3) \cdot 7 + 0) \cdot 7 + 1 = ((((2) \cdot 7 + 1) \cdot 7 + 3) \cdot 7 + 0) \cdot 7 + 1}$$

takže