MATEMATICKÁ ČÍTANKA

Príklad 8.

Nájdite najväčšie prirodzené číslo $n$, pre ktoré je výraz $\bf{5 \cdot 4^n + 1}$ deliteľný číslom $\bf{3}$.

Riešenie:

Experiment hovorí, že pre prvých $\bf{10}$ prirodzených čísel to platí : $$\begin{array}{c|c} \bf{n} & \bf{1} & \bf{2} & \bf{3} & \bf{4} & \bf{5} & \bf{6} & \bf{7} & \bf{8} & \bf{9} & \bf{10} \\ \hline \bf{5 \cdot 4^n + 1} & \bf{21} & \bf{81} & \bf{321} & \bf{1281} & \bf{5121} & \bf{20481} & \bf{81921} & \bf{327681} & \bf{1310721} & \bf{5242881} \end{array}$$

Vzniká oprávnené podozrenie, že $\bf{\forall n \in N : 3 / 5 \cdot 4^n + 1}$ (t. j, že daný výraz je deliteľný číslom $\bf{3}$ pre každé prirodzené číslo $\bf{n}$.).

Pri dôkaze použijeme niečo ako „dominový efekt“. Predstavme si, že máme za sebou postavených neobmedzene veľa kúskov domina. Predpokladajme, že sú pravdivé 2 tvrdenia:

1. Spadne prvý kúsok.

2. Ak spadne niektorý kúsok, tak spadne aj za ním v rade nasledujúci kúsok.

Myslím, že je zrejmé, že ak sú obe tvrdenia pravdivé, tak spadnú všetky kúsky domina ^[14] .

Overiť tvrdenie a. v našom prípade znamená zistiť či $\bf{3 / 5 \cdot 4^n + 1}$ je pravda pre $\bf{n = 1}$. To je zrejmé, lebo $\bf{5 \cdot 4^1 + 1 = 21 = 3 \cdot 7}$.

Overiť tvrdenie b. znamená pre ľubovoľné $\bf{k \geq 1}$ dokázať, že ak $\bf{5 \cdot 4^k + 1}$ je násobkom čísla $\bf{3}$ (t. j. ak spadne ľubovoľný kúsok domina), tak aj $\bf{5.4^{k+1} + 1}$ je násobkom čísla $\bf{3}$ (tak spadne aj nasledujúci kúsok domina).

Pre sprehľadnenie našich úvah si označme: $\bf{5 \cdot 4^k + 1 = V(k)}$, potom $\bf{V(k+1) = 5 \cdot 4^{k+1} + 1}$.

Zrejme $\bf{V(k+1) – V(k) = (5 \cdot 46{k+1} + 1) – (5 \cdot 4^k + 1) = 5 \cdot 4 \cdot 4^k – 5 \cdot 4^k = 15 \cdot 4^k = 3}$.☺

Inak napísané $\bf{V(k+1) = V(k) + 3}$.☺ Z čoho je zrejmé, že ak $\bf{V(k)}$ je násobkom troch, potom aj $\bf{V(k+1)}$ je násobkom troch.

Tým sme overili podmienku b., takže podľa „dominového efektu“, alebo správnejšie pomocou princípu matematickej indukcie sme dokázali tvrdenie: $\bbox[yellow]{\bf{\forall n \in N : 3 / 5 \cdot 4 n + 1}}$.

Príklad 9.

Matematickou indukciou dokážte: $\bf{\forall n \in N : \sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}} \qquad (☻)$.

Na vysvetlenie – symbolom $\bf{\sum_{k=1}^n k^2}$ označujeme súčet $\bf{1^2 + 2^2 + ... + n^2}$ , t. j. súčet štvorcov prvých $n$ prirodzených čísel^[15] .

Podľa princípu matematickej indukcie musíme:

1. dokázať platnosť tvrdenia ☻ pre $\bf{n = 1}$. To ale platí, lebo $\bf{Ľ = 1^2 = 1, P = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{6} = 1}$

2. Musíme ukázať, že pre ľubovoľné $\bf{m}$ ak platí $\bf{1^2 + 2^2 + ... + m^2 = \frac{m(m+1)(2m+1)}{6}} \qquad (IP)$^[16] , tak potom platí aj: $$\bf{1^2 + 2^2 + ... + m^2 + (m + 1)^2 = \frac{(m+1)((m+1)+1)(2(m+1)+1)}{6} = \frac{(m+1)(m+2)(m+3)}{6}}$$

   Vyjdime z IP: $\bf{1^2 + 2^2 + ... + m^2 = \frac{m(m+1)(2m+1)}{6}}$ po pripočítaní výrazu $\bf{(m+1)^2}$ k obom stranám a po úpravách pravej strany dostávame:
   $$\bf{1^2 + 2^2 + ... + m^2 + (m+1)^2 = \frac{m(m+1)(2m+1)+6(m+1)^2}{6} = }$$ $$\bf{\frac{(m+1)[m(2m+1)+6(m+1)]}{6} = \frac{(m+1)[2m^2+7m+6]}{6} = \frac{(m+1)(m+2)(2m+3)}{6}}$$ čo sme chceli dokázať.