MATEMATICKÁ ČÍTANKA

Príklad 6.

Zaujímavý je nasledovný spôsob výpočtu druhej odmocniny, ktorý je zrejmý z tabuľky: $$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \bf{Výpočet \; druhej \; odmocniny \; priemerovaním} \\ \hline \bf{a =} & \cellcolor{cyan}\bf{12} \\ \hline \bf{x(0)} & \cellcolor{cyan} \bf{3} & \bf{y(0) = \frac{a}{x(0)} =} & \bf{4} \\ \hline \bf{x(1) = \frac{x(0) + y(0)}{2} =} & \bf{3.5} & \bf{y(1) = \frac{a}{x(1)} =} & \bf{3.4285714} \\ \hline \bf{x(2) = \frac{x(1) + y(1)}{2} =} & \bf{3.4642857} & \bf{y(2) = \frac{a}{x(2)} =} & \bf{3.4639175} \\ \hline \bf{...} & \bf{3.4641016} & \bf{...} & \bf{3.4641016} \\ \hline \bf{x(n + 1) = \frac{x(n) + y(n)}{2} =} & \bf{3.4641016} & \bf{y(n + 1) = \frac{a}{x(n)} =} & \bf{3.4641016} \\ \hline \end{array}$$

Začíname s ľubovoľným odhadom $\bf{x(0)}$ druhej odmocniny z $\bf{a}$. Algoritmus má dve pravidlá: $$\bf{y(n) = \frac{a}{x(n)} \qquad x(n + 1) = \frac{x(n) + y(n)}{2}}$$

Tento algoritmus^[4] zarážajúco rýchlo speje k žiadanému výsledku.

Príklad 7.

Jeden, vám iste známy anglický fyzik a matematik Isaac Newton^[5], uvažoval asi takto:

Vypočítať $\bf{\sqrt{a}}$ znamená vyriešiť rovnicu: $\bf{x^2 = a \qquad (1)}$

Snažme sa ju vyriešiť tým spôsobom, že budeme postupne „vyrábať“ čísla, ktoré sa čím ďalej, tým menej líšia od želaného výsledku. Nech $\bf{x_n}$ je n-té priblíženie sa k výsledku. Ďalšie, lepšie priblíženie $\bf{x_{n + 1}}$ budeme hľadať v tvare $\bf{x_{n+1} = x_n + \varepsilon}$, kde $\bf{\varepsilon}$ je malé reálne číslo.

Ak $\bf{x_{n + 1}}$ dosadíme za $\bf{x}$ do $(1)$ postupne dostávame:

$\bf{(x_n + \varepsilon)^2 = a \qquad x_n^2 + 2 \cdot x_n \varepsilon + \varepsilon^2 = a \qquad (2) }$

Keďže sa chceme vyhnúť odmocňovaniu a stačí nám približné riešenie, ale lepšie ako $\bf{x_n}$ a vzhľadom na to, že $\varepsilon$ je malé číslo, môžeme posledného sčítanca zanedbať. Potom dostávame:

$\bf{\varepsilon = \frac{a - x_n^2}{2 \cdot x_n} }$ resp. $\bf{x_{n+1} = \bbox[yellow, 5px]{\frac{x_n^2 + a}{2 \cdot x_n}} \qquad (3)}$^[6]

Postupný výpočet približnej hodnoty druhej odmocniny z nezáporného reálneho čísla $\bf{a}$ podľa tohto rekurentného vzťahu môžeme sledovať pomocou 1. hárku zošitu odmocnina 2. Pravdepodobne vás prekvapí rýchlosť, s akou sa tento algoritmus približuje k výsledku.

Túto Newtonovu metódu používa aj vaša kalkulačka pri použití tlačidla SQRT.

Príklad 8.

Postup uvedený v predchádzajúcom príklade je taký zaujímavý, že si ho prispôsobíme na výpočet 3. odmocniny.

Vypočítať $\bf{\sqrt[3]{a} }$ znamená vyriešiť rovnicu: $\bf{x^3 = a \; (a \in R) \qquad (4)}$

Opäť budeme postupne „vyrábať“ čísla, ktoré sa čím ďalej, tým menej líšia od želaného výsledku. Nech $\bf{x_n}$ je n-té priblíženie sa k výsledku. Ďalšie, lepšie priblíženie $\bf{x_{n+1}}$ budeme hľadať v tvare $\bf{x_{n+1} = x_n + \varepsilon}$, kde $\varepsilon$ je malé reálne číslo.

Ak $\bf{x_{n+1}}$ dosadíme za $\bf{x}$ do $(1)$ dostávame:

$\bf{(x_n + \varepsilon)^3 = x_n^3 + 3 \cdot x_n^2 \varepsilon + \bbox[lime, 5px]{\varepsilon^2} (3 \cdot x_n + \varepsilon) = a \qquad (5)}$

Keďže sa chceme vyhnúť odmocňovaniu a stačí nám približné riešenie, ale lepšie ako $\bf{x_n}$ a vzhľadom na to, že $\varepsilon$ a tobôž $\bbox[lime, 5px]{\varepsilon^2}$ je malé číslo, môžeme sčítance obsahujúce mocniny čísla $\varepsilon$ s exponentom väčším ako $1$ zanedbať. Potom dostávame:
$$\bf{\varepsilon = \frac{a - x_n^3}{3 \cdot x_n^2} } \; resp. \; \bf{x_{n+1} = \bbox[yellow, 5px]{\frac{2 \cdot x_n^3 + a}{3 \cdot x_n^2}} \qquad (6) }$$

Postupný výpočet približnej hodnoty tretej odmocniny z nezáporného reálneho čísla $\bf{a}$ podľa tohto rekurentného vzťahu môžete sledovať pomocou EXCELU v 2. hárku zošitu odmocnina 2. Aj tento algoritmus sa približuje k výsledku veľkou rýchlosťou.

Vašou úlohou bude zovšeobecniť tento postup na výpočet ľubovoľnej odmocniny.