Motto
Za väčšinu toho čo viem, vďačím svojim žiakom.
Podľa postupu popísaného v predchádzajúcich dvoch príkladoch sa pokúste nájsť rekurentný vzťah pre výpočet q – tej odmocniny, podobný vzťahom $(3)$ a $(6)$. Pomocou takto získaného vzorca v zošite odmocnina 2. urobte v 3. hárku postup na výpočet ľubovoľnej odmocniny z ľubovoľného kladného čísla. (Kto je lenivý a chce prísť o zážitok z vlastnej práce, môže si to pozrieť v 4. hárku tohto zošitu.)
3. hárok zošitu odmocnina 2
Otvorte si zošit Výpočet mocniny a pomocou neho urobte postupné odhady čísla $\bf{(\sqrt{3})^\sqrt{2}}$.
Výpočet mocniny - na stiahnutie
Lepšie si všimnite algoritmy na výpočet 2. odmocniny popísané v príkladoch 6. a 7. Dokážte, že sú zhodné (t. j. dávajú pri rovnakých vstupoch rovnaké postupné výsledky).
Hĺbavý matematik by sa nemal uspokojiť s tým, že vzťah $\bf{x_{n+1} = \bbox[yellow, 5px]{\frac{x_n^2 + a}{2 \cdot x_n}}}$ v každom sledovanom prípade vedie rýchle k „výsledku“. Čo vlastne zaručuje, že napr. pri výpočte odmocniny z čísla $5$ postupnosť čísel ktorá začína napr. číslom $\bf{5}$ a pokračuje $\bf{3, \frac{7}{3}, \frac{47}{21}, ...}$ sa čím ďalej tým viac približuje k nejakému konkrétnemu číslu?
Množstvo ďalších zaujímavostí o odmocninách a nielen o nich sa môžete dozvedieť na www stránke:
Moja kalkulačka zobrazuje maximálne 8 cifier vloženého, alebo vypočítaného čísla. Za koľko cifier výsledku výpočtu $\bf{(\pi + \sqrt{2})^3}$ môžem ručiť ?
Fakt $\bf{\pi \sim 3.1415927}$ znamená, že $\bf{\pi \in \langle 3.1415927 - 0.00000005; 3.1415927 + 0.00000005 \rangle}$
Fakt $\bf{\sqrt{2} \sim 1.4142136 }$ znamená, že $$\bf{\sqrt{2} \in \langle 1.4142136 - 0.00000005; 1.4142136 + 0.00000005 \rangle }$$
Preto $\bf{\pi + \sqrt{2} \in \langle 4.5558063 - 0.0000001; 4.5558063 + 0.0000001 \rangle }$
Podobne ak $\bf{a = a_0 \pm \Delta}$, tak $\bf{a^3 = (a_0 \pm \Delta)^3 = a_0^3 \pm 3 \Delta a_0^2 + \bbox[yellow, 5px]{3 \Delta^2a_0 \pm \Delta^3}}$ teda
$\bf{a^3 = a_0^3 \pm 3 \Delta a_0^2}$, tak $\bf{a^3 = a_0^3 \pm 3 \Delta a_0^2 }$ lebo žlto podfarbené číslo možno pre jeho nepatrnosť zanedbať.
Preto $\bf{(\pi + \sqrt{2})^3 = 94.55745 \pm 0.0000062}$. Za poslednú cifru nemožno ručiť, lebo chyba je viac ako polovica nasledujúcej jednotky, takže $\bf{(\pi + \sqrt{2})^3 \sim 94.5575 }$ (pritom kalkulačka dala výsledok $\bf{94.557445}$)
Toto by bola pravda, keby sme z kalkulačky (alebo z tabuliek ako kedysi) odpísali hodnoty $\bf{\pi a \sqrt{2}}$ a potom už pokračovali vo výpočte ručne. Dobré kalkulačky si pamätajú o cca 3 cifry čísla viac, než zobrazia na displeji a preto im možno „väčšinou“ veriť. Prečo iba „väčšinou“? Zvoľte si číslo $\bf{1,000001}$, potom z neho urobte desiatu odmocninu (zobrazí sa vám 1) a potom výsledok umocnite na desiatu. Ak bude konečný výsledok $\bf{1}$ a nie $\bf{1,000001}$ , usvedčili ste svoju kalkulačku z nepresnosti.