MATEMATICKÁ ČÍTANKA

Príklad 3.

Vypočítajte hodnotu mnohočlena $\bf{2 \cdot x^7 + x^6 - 2 \cdot x^4 - x^3 + 2}$ pre $\bf{x \in \{-3, \, -2, \, -1, \, 0, \, 1, \, 2, \, 3\}}$. Mnohočlen doplníme o tie mocniny premennej, kde boli koeficientmi nuly. Dostaneme: $$\bf{2 \cdot x^7 + 1 \cdot x ^6 + 0 \cdot x^5 - 2 \cdot x^4 - 1 \cdot x^3 + 0\cdot x^2 + 0 \cdot x + 2}$$

Tento zápis vhodne (postupným vynímaním pred zátvorku) upravíme. Dostaneme: $$\begin{aligned} \bf 2 \cdot x^7 + 1 \cdot x ^6 + 0 \cdot x^5 - 2 \cdot x^4 - 1 \cdot x^3 + 0\cdot x^2 + 0 \cdot x + 2 & = \\ \bf (2 \cdot x^6 + 1 \cdot x ^5 + 0 \cdot x^4 - 2 \cdot x^3 - 1 \cdot x^2 + 0\cdot x + 0) x + 2 & = \\ \bf ((2 \cdot x^5 + 1 \cdot x ^4 + 0 \cdot x^3 - 2 \cdot x^2 - 1 \cdot x^1 + 0)x + 0) x + 2 & = \\ \bf (((2 \cdot x^4 + 1 \cdot x ^3 + 0 \cdot x^2 - 2 \cdot x^1 - 1)x + 0)x + 0) x + 2 & = \\ \bf ((((2 \cdot x^3 + 1 \cdot x ^2 + 0 \cdot x^1 - 2)x - 1)x + 0)x + 0) x + 2 & = \\ \bf (((((2 \cdot x^2 + 1 \cdot x ^1 + 0)x - 2)x - 1)x + 0)x + 0) x + 2 & = \\ \bf ((((((2 \cdot x + 1)x + 0)x - 2)x - 1)x + 0)x + 0) x + 2 & = \\ \bf (((((((2)x + 1)x + 0)x - 2)x - 1)x + 0)x + 0) x + 2 & \qquad (H) \end{aligned}$$

Vidíme tu sústavu do seba uzavretých zátvoriek. Pre lepšiu orientáciu napíšeme obsahy týchto zátvoriek od najvnútornejšej až po celý výraz: $$\begin{aligned} &\bf{(0) \qquad 2} \\ &\bf{(1) \qquad (2) \cdot x + 1} \\ &\bf{(2) \qquad ((2) \cdot x + 1) \cdot x + 0} \\ &\bf{(3) \qquad (((2) \cdot x + 1) \cdot x + 0) \cdot x - 2} \\ &\bf{(4) \qquad ((((2) \cdot x + 1) \cdot x + 0) \cdot x - 2) \cdot x - 1} \\ &\bf{(5) \qquad (((((2) \cdot x + 1) \cdot x + 0) \cdot x - 2) \cdot x - 1) \cdot x + 0} \\ &\bf{(6) \qquad ((((((2) \cdot x + 1) \cdot x + 0) \cdot x - 2) \cdot x - 1) \cdot x + 0) \cdot x + 0} \\ &\bf{(7) \qquad (((((((2) \cdot x + 1) \cdot x + 0) \cdot x - 2) \cdot x - 1) \cdot x + 0) \cdot x + 0) \cdot x + 2} \end{aligned}$$

Vidíme, že obsah nulterj zátvorky je prvý koeficient nášho mnohočlena a že obsah ľubovoľnej zátvorky dostaneme tak, že obsah predchádzajúcej vynásobíme príslušnou hodnotou premennej a pripočítame ďalší koeficient mnohočlena. Tento spôsob zápisu nás inšpiruje vypočítať hodnotu mnohočlena pre ľubovoľnú hodnotu premennej $\bf{x}$ pomocou tabuľky takto: $$\begin{array} {|c|c|} \hline x & 2 & 1 & 0 & -2 & -1 & 0 & 0 & 2 \\ \hline 3 & 2 & 7 & 21 & 61 & 182 & 546 & 1638 & 4916 \\ \hline 2 & 2 & 5 & 10 & 18 & 35 & 70 & 140 & 282 \\ \hline 1 & 2 & 3 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 & 2 \\ \hline 0 & 2 & 1 & 0 & -2 & -1 & 0 & 0 & 2 \\ \hline -1 & 2 & -1 & 1 & -3 & 2 & -2 & 2 & 0 \\ \hline -2 & 2 & -3 & 6 & -14 & 27 & -54 & 108 & -214 \\ \hline -3 & 2 & -5 & 15 & -47 & 140 & -420 & 1260 & -3778 \\ \hline \end{array}$$

Vo vodorovnom záhlaví sú koeficienty mnohočlena a výrazy $\bf{0}$ až $\bf{7}$ detailne popisujú tvorbu obsahu buniek v riadkoch tabuľky. Vo zvislom záhlaví sú hodnoty premennej, pre ktoré počítame hodnotu mnohočlena. Pripomeňme si, že tento spôsob výpočtu hodnoty polýnomu sa volá Hornerova schéma. Pozrite si tiež Excelovský zošit Horner.