Motto
Za väčšinu toho čo viem, vďačím svojim žiakom.
Dôležitou zručnosťou pri úprave výrazov je schopnosť vydeliť mnohočlen mnohočlenom. Tento algoritmus je analógiou delenia viacciferného čísla viacciferným číslom. Najlepšie to pochopíme na príklade:
Vydeľte mnohočlen $\bf{7x^4 - 3x^3 + 5x^2 - 4x + 3}$ mnohočlenom $\bf{x + 1}$. $$\begin{array} {cccccc} ( & 7x^4 & - & 3x^3 & + & 5x^2 & - & 4x & + & 3 & ) & : & (x + 1) = 7x^3 - 10x^2 + 15x - 19 \\ & \color{red}{7x^4} & \color{red}{+} & \color{red}{7x^3} \\ && - & 10x^3 & + & 5x^2 & - & 4x & + & 3 \\ && \color{red}- & \color{red}{10x^3} & \color{red}{-} & \color{red}{10x^2} \\ &&&&& 15x^2 & - & 4x & + & 3 \\ &&&&& \color{red}{15x^2} & \color{red}+ & \color{red}{15x} \\ &&&&&& - & 19x & + & 3 \\ &&&&&& \color{red}- & \color{red}{19x} & \color{red}- & \color{red}{19} \\ &&&&&&&& \color{lime}+ & \color{lime}{22} \\ \end{array}$$
"Červené" riadky sme odčitovali od riadkov nad nimi. Výsledok delenia znamená, že: $$\bf{7x^4 - 3x^3 + 5x^2 - 4x + 3 = (x + 1) \cdot (7x^3 - 10x^2 + 15x - 19) + 22}$$
Vydeľte mnohočlen $\bf{2 \cdot x^7 + x^6 - 2 \cdot x^4 - x^3 + 2}$ výrazmi $\bf{x - x_0, x_0 \in \{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\}}$. Výsledky porovnajte s riadkami Hornerovej schémy v príklade 3. Sformulujte hypotézu o vzťahu medzi delením mnohočlena výrazom $\bf{x - x_0}$ a výpočtom hodnoty mnohočlena v čísle $\bf{x_0}$ podľa Hornerovej schémy.
Pozorne si preštudujte 1.hárok excelovského zošitu Delenie polynómov. Umožňuje deliť ľubovoľný
polynóm najviac 4. stupňa polynómom 1. stupňa. Podľa neho dokončite delenie v 2. hárku a pokúste sa
v 3. hárku zabezpečiť delenie ľubovoľného polynómu najviac 5. stupňa ľubovoľným polynómom najviac
4. stupňa.
Delenie polynómov - 1.hárok
Delenie polynómov - 2.hárok
Delenie polynómov - 3.hárok
Dokážte, že pre všetky reálne čísla $\bf{a, b, c}$ platí: $$\bf{a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca \geq 0}$$
Ak výraz na ľavej strane nerovnosti vhodne upravíme, dostaneme: $$\bf{a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca = \frac{1}{2}(a - b)^2 + \frac{1}{2}(b - c)^2 + \frac{1}{2}(c - a)^2}$$
Z tvaru pravej strany je očividné, že náš výraz je vždy nezáporný, pretože je súčtom štvorcov a navyše je zrejmé, že sa bude rovnať nule práve vtedy, keď bude $\bf{a = b = c}$.
Z tohto príkladu plynie ponaučenie, že je užitočné mať dobre vyvinutý cit pre to, čo je vhodná úprava výrazu. Tento cit sa dá vypestovať usilovným tréningom.