MATEMATICKÁ ČÍTANKA

Príklad 6.

Daný je výraz: $$\bf{V = -a^4 - b^4 - c^4 + 2a^2b^2 + 2b^2c^2 + 2c^2a^2}$$ Oborom premenných $\bf{a, b, c}$ sú kladné reálne čísla. Určte, pre ktoré hodnoty premenných $\bf{a, b, c}$ nadobúda výraz $\bf{V}$ kladné hodnoty.

Riešenie:

Rozumné je najprv experimentovať : $$\begin{array}{lll} 1. \; pokus & \bf{a = b = c = 1} && \qquad & Hodnota \; výrazu: & \bf{3} \\ 2. \; pokus & \bf{a = b = 1,} & \bf{c = 2} & \qquad & Hodnota \; výrazu: & \bf{0} \\ 3. \; pokus & \bf{a = b = 1,} & \bf{c = 3} & \qquad & Hodnota \; výrazu: & \bf{-45} \\ \end{array}$$

Dokazovať nezápornosť nemá zmysel. (Ďalšie experimentovanie s hodnotou výrazu $V$ pre rôzne hodnoty premenných $\bf{a, b, c}$ si môžete vyskúšať pomocou EXCELU v zošite Výraz V).

Výraz V

Pokúsme sa výraz $\bf{V}$ rozložiť na súčin lineárnych výrazov. Výraz $\bf{V}$ môžeme považovať za kvadratický trojčlen premennej $\bf{a^2}$ a tento doplníme na úplný štvorec. Dostávame: $$\begin{aligned} \bf{V} &\bf{= - a^4 - b^4 - c^4 + 2a^2b^2 + 2b^2c^2 + 2c^2a^2 = - [(a^2)^2 - 2(b^2+c^2)a^2 + (b^2-c^2)^2] =} \\ &\bf{= - {[a^2 - (b^2 + c^2)]^2 - (b^2+c^2)^2 + (b^2 - c^2)^2} = - [(a^2 - b^2 - c^2)^2 - (2bc)^2] =} \\ &\bf{= - (a^2 - b^2 - 2bc - c^2)(a^2 - b^2 +2bc - c^2) = [a^2 - (b+c)^2][a^2-(b-c)^2] =} \\ &\bf{= -[(a-b-c)(a+b+c)(a-b+c)(a+b-c) =} \\ &\bf{= (a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c) \qquad \qquad (^*)} \end{aligned}$$

Z posledného tvaru je vidieť, že náš výraz nadobúda kladné hodnoty práve vtedy, keď existuje trojuholník, ktorého strany majú dĺžky $\bf{a, b, c}$.

Tento príklad svedčí o tom, že vhodnou úpravou výrazu môžeme získať významnú informáciu.

Príklad 7.

Vieme, že: $\bf{a^2 – b^2 = (a – b)(a + b)}$ a $\bf{a^3 – b^3 = (a – b)(a^2 + ab + b^2)}$. Vyslovte hypotézu o deliteľnosti výrazu $\bf{a^n – b^n}$ výrazom $\bf{a – b}$ a dokážte ju matematickou indukciou.

Riešenie:

Najprv rozložíme výraz $\bf{a^4 – b^4}$. $$\bf{a^4 - B^4 = (a^2-b^2)(a^2+b^2) = (a-b)(a+b)(a^2+b^2) = (a - b)(a^3+a^2b + ab^2 + b^3)}$$

Odtiaľto je už len krôčik k hypotéze: $$\bf{\bbox[yellow, 5px]{\forall n \in N: a^n - b^n = (a-b)(a^{n-1} + a^{n -2}b + ... + ab^{n-2}+b^{n-1})} \qquad (H) }$$

Hypotézu $(H)$ dokážeme matematickou indukciou:
Výraz v 2.zátvorke označme $\bf{D_n}$. Teda $\bf{D_n = \sum_{k = 0}^{n-1}a^{n-1-k}b^k }$

Naša hypotéza má teraz podobu: $$\bf{\forall n \in N: a^n - b^n = (a - b)D_n \qquad (H)}$$

Uvedomme si, že pre každé $m$ väčšie ako $1$ platí: $\bf{a \cdot D_m + b^m = D_{m+1}}$

1. Hypotéza $(H)$ pre $n = 2$ zrejme platí.

2. Nech $\bf{a^m – b^m = (a – b)D_m}$ (indukčný predpoklad). Potom: $$\bf{a^{m+1} - b^{m+1} = a^{m+1} -ab^m + ab^m - b^{m+1} = a(a^m - b^m) + b^m(a-b)=}$$ $$\bf{a(a-b)D_m + b^m(a-b) = (a-b)(aD_m + b^m) = (a-b)D_{m+1} }$$ čo sme chceli dokázať.