MATEMATICKÁ ČÍTANKA

Obsah

2.2 Úpravy výrazov

Príklad 8.

Sčítajte zlomky: $\bf{\frac{1}{x+1} + \frac{2}{x-2} + \frac{3}{x+3} + \frac{4}{x-4}}$

Riešenie:

I keď to znie paradoxne, pre naše účely bude vhodnejšie vyriešiť nie túto konkrétnu úlohu, ale všeobecnejšiu úlohu, sčítať zlomky: $$\bf{\frac{A}{x-a} + \frac{B}{x-b} + \frac{C}{x-c} + \frac{D}{x-d}}$$

Po úprave na spoločného menovateľa dostávame : $$\bf{\frac{A(x-b)(x-c)(x-d) + B(x-a)(x-c)(x-d) + C(x-a)(x-b)(x-d) + D(x-a)(x-b)(x-c)}{(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)}}$$

Po roznásobení by sme v čitateli dostali polynóm 3.stupňa: $$\bf{K_3x^3 + K_2x^2 + K_1x + K_0}$$

Skúsme bez otrockého roznásobovania priamo vyjadriť jeho koeficienty: $$\bf{K_3 = A + B + C + D}$$ $$\bf{K_2 = - [A(b+c+d) + B(a+c+d) + C(a+b+d) + D(a+b+c)]}$$ $$\bf{K_1 = A(bc+cd+db) + B(ac+cd+da) + C(ab+bd+da) + D(ab+bc+ca)}$$ $$\bf{K_0 = - (Abcd + aBcd + abCd + abcD)}$$

„Elegancia“ výrazov $\bf{K_i}$ by pri riešení konkrétneho príkladu dostatočne nevynikla. Roznásobením činiteľov v menovateli dostávame: $$\bf{(x-a)(x-b)(x-c)(x-d) = }$$ $$\bf{= x^4 - (a+b+c+d)x^3 + (ab+ac+ad+bc+bd+cd)x^2 - (abc+abd+acd+bcd)x+abcd}$$

Dôležitosť poslednej rovnosti, t. j. vzťahy medzi koreňmi a koeficientmi polynomickej rovnice od čias pána Vieta netreba zdôrazňovať.

Ak teraz do všeobecných výsledkov dosadíme konkrétne údaje z nášho príkladu, dostaneme: $$\bf{\frac{1}{x+1} + \frac{2}{x-2} + \frac{3}{x+3} + \frac{4}{x-4} = \frac{10x^3 - 10x^2 - 50x}{x^4 - 2x^3 - 13x^2 + 14x + 24}}$$


Úlohy

  1. Vydeľte $\bf{(-a^4 - b^4 - c^4 + 2a^2b^2 + 2b^2c^2 + 2c^2a^2) : (a+b+c)}$

  2. Dokážte, že $\bf{\forall a,b,c \in R^+: \frac{3}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \leq \sqrt[3]{abc} \leq \frac{a + b + c}{3} }$

    (Jednotlivé výrazy voláme harmonický, geometrický a aritmetický priemer troch čísel.)

  3. Dokážte, že $\bf{\forall a,b,c \in R: a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2 - a^2bc - ab^2c - abc^2 \geq 0}$

  4. Všimnite si, že platí: $\bf{\forall a,b \in R: a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)}$ Vyslovte hypotézu o deliteľnosti výrazu $\bf{a^{2k-1} + b^{2k-1}$ výrazom $\bf{a + b}$ a dokážte ju matematickou indukciou.

  5. Nájdite také reálne čísla $\bf{A, B, C, D,}$ aby platilo: $$\bf{\frac{10x^3 - 70x^2 + 150x - 96}{(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x-2} + \frac{C}{x-3} + \frac{D}{x-4} }$$

Na záver tejto kapitoly si pozrime jednu tabuľku: $$\bbox[lightgray, 5px]{f(n) = a \cdot n^3 + b \cdot n^2 + c \cdot n + d}$$ $$\begin{array}{|c|c|} \hline \cellcolor{#e8eeec} & \cellcolor{#e8eeec}{a = 1.00} & \cellcolor{#e8eeec}{b = 1.00} & \cellcolor{#e8eeec}{c = 1.00} & \cellcolor{#e8eeec}{d = 1.00} \\ \hline \cellcolor{lightgray}n & \cellcolor{lightgray} f(n) & \cellcolor{lightgray} \Delta & \cellcolor{lightgray} \Delta \Delta & \cellcolor{lightgray} \Delta \Delta \Delta \\ \hline \cellcolor{#e8eeec} 0 & \cellcolor{#e8eeec} 1 & \cellcolor{#e8eeec} 3 & \cellcolor{#e8eeec} 8 & \cellcolor{#e8eeec} 6 \\ \hline \cellcolor{lightgray}1 & \cellcolor{lightgray}4 & \cellcolor{lightgray}11 & \cellcolor{lightgray}14 & \cellcolor{lightgray}6 \\ \hline \cellcolor{#e8eeec} 2 & \cellcolor{#e8eeec} 15 & \cellcolor{#e8eeec} 25 & \cellcolor{#e8eeec} 20 & \cellcolor{#e8eeec} 6 \\ \hline \cellcolor{lightgray}3 & \cellcolor{lightgray}40 & \cellcolor{lightgray}45 & \cellcolor{lightgray}26 & \cellcolor{lightgray}6 \\ \hline \cellcolor{#e8eeec} 4 & \cellcolor{#e8eeec} 85 & \cellcolor{#e8eeec} 71 & \cellcolor{#e8eeec} 32 & \cellcolor{#e8eeec} 6 \\ \hline \cellcolor{lightgray}5 & \cellcolor{lightgray}156 & \cellcolor{lightgray}103 & \cellcolor{lightgray}38 & \cellcolor{lightgray}6 \\ \hline \cellcolor{#e8eeec} 6 & \cellcolor{#e8eeec} 259 & \cellcolor{#e8eeec} 141 & \cellcolor{#e8eeec} 44 & \cellcolor{#e8eeec} 6 \\ \hline \cellcolor{lightgray}7 & \cellcolor{lightgray}400 & \cellcolor{lightgray}185 & \cellcolor{lightgray}50 & \cellcolor{lightgray}6 \\ \hline \cellcolor{#e8eeec} 8 & \cellcolor{#e8eeec} 585 & \cellcolor{#e8eeec} 235 & \cellcolor{#e8eeec} 56 & \cellcolor{#e8eeec} \\ \hline \cellcolor{lightgray}9 & \cellcolor{lightgray}820 & \cellcolor{lightgray}291 & \cellcolor{lightgray} & \cellcolor{lightgray} \\ \hline \cellcolor{#e8eeec} 10 & \cellcolor{#e8eeec} 1111 & \cellcolor{#e8eeec} & \cellcolor{#e8eeec} & \cellcolor{#e8eeec} \\ \hline \end{array}$$

Je to výňatok z väčšej tabuľky, ktorú nájdete v zošite Diferencie.

Diferencie
Sú v nej v 2. stĺpci hodnoty mnohočlena 3. stupňa, ktorého koeficienty $\bf{a, b, c, d}$ sú v záhlaví. V 3. stĺpci sú rozdiely (diferencie) hodnôt 2. stĺpca, v 4. stĺpci sú diferencie hodnôt z 3. stĺpca (čiže diferencie z diferencií, alebo diferencie 2. rádu) a v poslednom stĺpci sú diferencie 3. rádu. Otvorte si tento zošit, voľte si rôzne hodnoty koeficientov polynómu a sledujte zmeny. Na záver vyriešte tieto úlohy:

  1. V zošite Diferencie zvoľte koeficienty $\bf{a, b, c, d}$ polynómu tak, aby tabuľka dostala tvar uvedený v stĺpcoch $K, L, M$ a $N$.

  2. Zmena koeficientov spôsobuje zmenu len v niektorých stĺpcoch tabuľky. Popíšte v ktorých.

  3. Označme $\bf{f(n) = a \cdot n^3 + b \cdot n^2 + c \cdot n + d, \; \Delta f(n) = f(n+1)-f(n), \;}$ $\bf{\Delta \Delta f(n) = \Delta f(n+1) - \Delta f(n), \; \Delta \Delta \Delta f(n) = \Delta \Delta f(n+1) - \Delta \Delta f(n)}$

    Určte koeficienty všetkých týchto mnohočlenov a výsledky použite pri experimentovaní s tabuľkou v zošite Diferencie.