MATEMATICKÁ ČÍTANKA

Obsah

3. Riešenia úloh

Úlohy z kapitoly 3.5

  1. Pozrite si Cabri výkres Priemery.
    \begin{array}{|c|c|}\hline \text{Funkcia:} & \bf{y = x} & \bf{y = x^2} & \bf{y = \frac{1}{x}} & \bf{y=2^x}\\\hline \text{f – priemer z čísel}\; \bf{u,v} & \bf{\frac{u+v}{2}} & \bf{\frac{\frac{u+v}{2}+\sqrt{uv}}{2}}& \bf{\frac{2}{\frac{1}{u}+\frac{1}{v}}} & \bf{\sqrt{uv}}\\\hline \end{array}

    1. Zrejme $\bf{\forall a,b \in R^+ : (\sqrt{a}-\sqrt{b})^2 \geq 0 \Rightarrow a-2\sqrt{ab} + b \geq 0 \iff \frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}}$, pričom rovnosť nastáva práve vtedy, keď $\bf{a = b}$.

    2. Ak $\bf{\forall a,b \in R^+: \frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}}$ z toho po vynásobení oboch strán výrazom $\bf{\frac{2\sqrt{ab}}{a+b}}$ dostávame $\bf{\sqrt{ab} \geq \frac{2ab}{a+b}}$ a po vykrátení zlomku výrazom $\bf{ab}$ máme: $\bf{\sqrt{ab} \geq \frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}}$

  3. Zrejme $\bf{\forall u,v \in R: u^2+uv+v^2 \geq 0 (+)}$. (Lebo $\bf{(+) \iff (u + v)^2 + u^2 + v^2 \geq 0}$, čo je zrejmé.)

    $$\text{Ak}\;\bf{a + b + c = 1 \Rightarrow}$$ $$\text{existujú také reálne čísla} \;\bf{u,v} \; \text{, že}$$ $$ \bf{a=\frac{1}{3}+u, \; b=\frac{1}{3}+v,\; c=\frac{1}{3}-u-v}$$ $$\bf{\Rightarrow ab +bc + ca = (\frac{1}{3}+u)(\frac{1}{3}+v)+(\frac{1}{3}+v)(\frac{1}{3}-u-v)+(\frac{1}{3}-u-v)(\frac{1}{3}+u)=}$$ $$\bf{= \bbox[yellow, 3px]{\frac{1}{3}-(u^2+uv+v^2)}}$$ čo je vďaka $\bf{(+)}$ iste menšie alebo rovné ako jedna tretina.

  4. \begin{align} &\bf{\forall a_1,a_2,b_1,b_2 \in R: (a_1b_2-a_2-b_1)^2 \geq 0 \Rightarrow 2a_1b_2a_2b_1 \leq a_1^2b_2^2+a_2^2b_1^2\Rightarrow}\\ &\bf{\Rightarrow a_1^2b_1^2 + 2a_1b_1a_2b_2 + a_2^2b_2^2 \leq a_1^2b_1^2 + a_1^2b_2^2 + a_2^2b_1^2 + a_2^2b_2^2 \Rightarrow}\\ &\bf{\Rightarrow (a_1b_1 + a_2b_2)^2 \leq (a_1^2+a_2^2) \cdot (b_1^2+b_2^2)} \; \text{čo sme mali dokázať.} \end{align}

  5. $\bf{x+ \sqrt{x^2 -p} \geq p \iff \sqrt{x^2-p}\geq p-x} \qquad (^*)$. Nerovnicu s parametrom môžeme chápať ako nerovnicu s dvomi premennými $\bf{x, p}$. Vo výkrese Nerovnica 1 sme vyšrafovali definičný obor tyrkysovou farbou.

    Nerovnica 1
    pracuje sa na tom
    Ak $\bf{p – x \lt 0}$, tak $(^*)$ zrejme platí, preto sme túto časť definičného oboru vyšrafovali červenou farbou. V polrovine $\bf{p – x \geq 0 (^{**})}$ je úprava umocnením ekvivalentná a dostávame $\bf{2px \geq p(p – 1)}$. Časti definičného oboru spĺňajúce $(^{**})$ a poslednú podmienku sú vyšrafované zeleno (pre $\bf{p \gt 0}$), resp. modro pre $\bf{p \lt 0}$.

  6. Pozrite si Nerovnice 2a.

    Pre $\bf{p \gt 0}$ máme $\bf{x(x+\frac{p+1}{p})\geq 0, \; x \in (-\infty ; \; - \frac{p+1}{p})\cup \langle 0;\; \infty)}$

    Pre $\bf{p = 0}$ máme $\bf{x \geq 0}$

    Pre $\bf{-1 \leq p \lt 0}$ máme $\bf{x(x+\frac{p+1}{p})\leq 0, \; x \in \langle 0; \; -\frac{p+1}{p}\rangle}$

    Pre $\bf{p \lt -1}$ máme $\bf{x(x+\frac{p+1}{p})\leq 0, \; x \in \langle-\frac{p+1}{p}; \; 0\rangle }$