MATEMATICKÁ ČÍTANKA

Obsah

3. Riešenia úloh

Úlohy z kapitoly 3.3

    1. Kopírujúc úvahu z 1. príkladu dostávame $\bf{x = x_1 + (x_2-x_1)k,\; y = y_1+(y_2-y_1)k \qquad(^*)}$

    2. Ak 1. rovnicu z $(^*)$ vynásobíme výrazom $\bf{(y_2-y_1)}$ a 2. rovnicu výrazom $\bf{-(x_2-x_1)}$ a potom rovnice sčítame, dostaneme: $\bf{(y_2-y_1)x-(x_2-x_1)y=(y_2-y_1)x_1-(x_2-x_1)y_1}$

  2. Dve také rovnice sú zrejme $\bf{x = -1,\; y = 2}$. Súčet ich násobkov: $\bf{a\cdot x + b \cdot y = -a + 2b}$ 2.je zrejme tiež taká rovnica. Skúste experimentovať vo výkrese Cabri 01.

    Cabri 01

  3. Ak existuje spoločné riešenie, musí platiť: $\bf{(3-2t;\;-7+3t)=(-5+4u;\;5-6u) \iff} 3-2t = -5 + 4u \land -7 +3t = 5-6u \iff t + 2u =4$. Spoločné riešenia existujú, každé riešenie sústavy (+) je aj riešením sústavy (++).

  4. Ak existuje spoločné riešenie, musí platiť: $\bf{(3-2t;\;-7+3t)=(2+7u; 3-2u) \iff 3-2t = 2 + 7u \land -7 +3t = 3-2u \iff u = -1 \land t = 4}$. Existuje jediné spoločné riešenie $\bf{(-5 ; 5)}$.

  5. Ak existuje spoločné riešenie, musí platiť: $\bf{(3-2r + s; \; -7 + 3r +s;\; 3-2r+s) = (2+7u+3v;\;3-2u+2v;\;2+7u)\iff}$ \begin{array}{rr} \bf{-2r} & \bf{+} & \bf{s} & \bf{-} & \bf{7u} & \bf{-} & \bf{3v} & \bf{=} & \bf{-1}\\ \bf{3r} & \bf{+} & \bf{s} & \bf{+} & \bf{2u} & \bf{-} & \bf{2v} & \bf{=} & \bf{10}\\ \bf{-2r} & \bf{+} & \bf{s} & \bf{-} & \bf{7u} & & & \bf{=} & \bf{-1}\\ \end{array}

    Sústava má nekonečne mnoho riešení

    (pozri sústava)
    \begin{array}{:c:c:} \hdashline\bf{r} && \bf{+1.8u} && \bf{=2.2,} & \bf{r = 2.2 - 1.8u} \\ \hdashline & \bf{s} & \bf{-3.4u} && \bf{=3.4,} & \bf{s = 3.4 + 3.4u} \\ \hdashline &&& \bf{v} & \bf{=0,} & \bf{u}\; \text{je ľubovoľné} \\ \hdashline \end{array}

    Ak dosadíme $\bf{v = 0}$ do $\bf{(2+7u + 3v; \; 3-2u;\;2+7u)}$ máme všetky spoločné riešenia sústavy rovníc (+) a (++): $\bf{(2+7u;\;3-2u;\;2+7u)}$

  6. Determinant sústavy je $\bf{a^2 - 18a + 17}$. Pre $\bf{a = 1}$, alebo $\bf{a = 17}$ má hodnotu $\bf{0}$. Riešenie pre tieto hodnoty parametrov si pozrite v zošite dve sústavy. Pre všetky ostatné hodnoty parametra majú obe sústavy práve jedno riešenie: $$\bf{\bigg(\frac{-16}{a-17};\; \frac{7a-23}{a-17};\;\frac{-16}{a-17}\bigg)} \; \text{resp.} \; \bf{(0;\;7;\;0)}$$

    dve sústavy - 1. list
    dve sústavy - 2. list

  7. Determinant sústavy je $\bf{a^3 - 11a + 20}$. V 1. hárku zošitu Sústava2 sme zistili, že jediný koreň rovnice $\bf{a^3 - 11a + 20=0}$ je $\bf{a = -4}$. Riešenie sústavy pre túto hodnotu parametra nájdete v 2. hárku tohto zošitu. Pre ostatné hodnoty parametra riešením sústavy rovníc je trojica: $$\bf{\bigg(\frac{a-6}{2(a^2-4a+5)};\;\frac{-2a+3}{2(a^2-4a+5)};\;\frac{a-1}{a}\bigg) }$$

    1. hárok zošitu Sústava2
    2. hárok zošitu Sústava2

  8. Determinant sústavy je rovný nule pre každú hodnotu parametra. V zošite Sústava3 môžete sledovať, že pre každú hodnotu parametra má nekonečne veľa riešení. Dopočítajte si to sami. (Rozlišujte prípady $\bf{a = 0.5}$ a $\bf{a \neq 0.5}$.

    1. hárok zošitu Sústava3
    2. hárok zošitu Sústava3