Motto
Za väčšinu toho čo viem, vďačím svojim žiakom.
Pre nezáporné $\bf{x}$ platí: $\bf{\frac{\sqrt{x}-1 }{\sqrt{x}+1} = \frac{a-1}{a+1} \Rightarrow a\sqrt{x} + \sqrt{x} - a - 1 = a\sqrt{x}-\sqrt{x}+a-1 \Rightarrow \sqrt{x} = a }$
Preto pre nezáporné a existuje jediné riešenie $\bf{x = a^2}$ a pre záporné $\bf{a}$ riešenie
neexistuje.
Pozrite si tiež výkres Parameter1.
$\bf{x+\sqrt{x^2+2p^2} = 2p \Rightarrow \sqrt{x^2+2p^2} = 2p-x \bbox[red, 3px]{\Rightarrow} x^2+2p^2 = 4p^2 - 4px + x^2 \Rightarrow 2px = p^2}$.
Pre $\bf{p = 0}$ máme rovnicu $\bf{0\cdot x = 0}$, riešením sú všetky reálne čísla. Ale skúška dáva $\bf{P = 0}$, kým $\bf{Ľ = x + |x|}$ čo sa rovná len pre $\bf{x \leq 0}$. Pre $\bf{p \neq 0}$ dostávame $\bf{x = \frac{p}{2}}$. Skúška dáva $\bf{Ľ=\frac{p}{2}+\sqrt{\frac{9p^2}{4}}= \frac{p}{2}+ \frac{3}{2}|p|,\; P = 2p }$, čo sa rovná len pre $\bf{p \gt 0}$.
Pozrite si výkres Parameter2.
Pre $\bf{p \neq 0}$ dostávame $\bf{x = \frac{p+1}{2}}$. Skúška do $\bf{\sqrt{x^2-p}=p-x}$ dáva $\bf{Ľ = \sqrt{\frac{(p-1)^2}{4}}=\frac{|p-1|}{2},\; P=\frac{p-1}{2}}$, čo sa rovná len pre $\bf{p \geq 1}$. Výsledky sú v zhode s našim experimentom.
$\bf{\sqrt{a-\sqrt{x^2+a^2}}=x \bbox[red, 3px]{\Rightarrow} a - x^2 = \sqrt{x^2+a^2} \Rightarrow x^4-2ax^2+a^2=x^2+a^2 \Rightarrow x^4 = (2a+1)x^2}$.
Zdá sa, že číslo $\bf{x = 0}$ je koreňom pre každú hodnotu parametra, ale po skúške $\bf{Ľ = \sqrt{a-|a|},\; P=0}$ vidíme, že to platí len pre $\bf{a \geq 0}$. Pre $\bf{x \neq 0}$ máme rovnicu $\bf{x^2=2a+1 \Rightarrow}$(pre $\bf{a \geq -0.5}$) $\bf{x = \sqrt{2a+1} }$. Ale skúška dáva $\bf{Ľ = \sqrt{a-|a+1|}}$ čo nie je definované pre žiadne $a$.