MATEMATICKÁ ČÍTANKA

Obsah

3. Riešenia úloh

Úlohy z kapitoly 3.2

  1. -

    1. Z dôvodu delenia nulou sa výpočet zrúti.

    2. Stačí vložiť $\bf{B4 = 9}$.

    3. Stačí vložiť $\bf{D6 = 12}$.

    4. Pozrite si 1. hárok zošitu MATICE

  3. Pozrite si MATICE 03.

  4. Riešenie oboch sústav rovníc pre $\bf{n \in {3, 4, 5}}$ nájdete v 1., resp. v 2. hárku zošitu Matice 04. Doriešte si sami minimálne prípad $\bf{n = 7}$, ten je zaujímavý.

    1. hárok zošitu Matice 04.
    2. hárok zošitu Matice 04.

  5. Hľadáme funkciu $\bf{f(x) = a|x+1| + b|x-1| + cx + d}$.

    Vieme, že $\bf{f(-2) = 01, \; f(-1) = 1, \; f(1) = -1, \; f(2)=1}$. Z toho dostávame sústavu rovníc: \begin{array}{rr} a & + & 3b & - & 2c & + & d & = & -1 \\ && 2b & - & c & + & d & = & 1 \\ 2a & && + & c & + & d & = & -1 \\ 3a & + & b & + & 2c & + & d & = & 1 \end{array}

    Pomocou 2. listu zošitu MATICE 01 (keď tam dosadíte koeficienty sústavy) dostanete riešenie: $$\bf{a = -1.5, \; b = 1.5, \; c = 2, \; d = 0}$$

    2. list zošitu MATICE 01

  6. $$\bf{\frac{10x^2 - 16}{x^4-5x^2+4} = \frac{A}{x-2} + \frac{B}{x-1} + \frac{C}{x+1} + \frac{D}{x+2}}$$

    Po sčítaní dostaneme zlomok, ktorého čitateľ je $\bf{K_3x^3 + K_2x^2 + K_1x + K_0}$, pričom platí: \begin{align} &\bf{K_3 = A+B+C+D}\\ &\bf{K_2 = -[A(b+c+d) + B(a+c+d) + C(a+b+d) + D(a+b+c)]}\\ &\bf{K_1 = A(bc+cd+db) + B(ac+cd+da) + C(ab+bd+da) + D(ab+bc+ca)}\\ &\bf{K_0 = -(Abcd+aBcd+abCd+abcD)} \end{align}

    Ak dosadíme naše konkrétne hodnoty dostávame sústavu lineárnych rovníc: \begin{align} &\bf{K_3 = A+B+C+D = 0}\\ &\bf{K_2 = 2A + B - C - 2D = 10}\\ &\bf{K_1 = -A -4B - 4C - 1D = 0}\\ &\bf{K_0 = -2A - 4B + 4C + 2D = -16}\\ \end{align}

    Pomocou 2. listu zošitu MATICE 01 sme po dosadení koeficientov sústavy dostali riešenie: $$\bf{A=2, \; B=1,\;C=-1,\;D=-2}$$

  7. Podľa úvah z 1. príkladu je $\bf{S_n^3 = a_4x^4 + a_3x^3 + a_2x^2 + a_1x + a_0}$. Dostali sme sústavu rovníc (vľavo), ktorú sme riešili v zošite $S_n^3$.

    $S_n^3$
    Po úpravách sme dostali(vpravo): \begin{array}{cc}{ \begin{array}{:c:c:} \hdashline\bf{1} & \bf{1} & \bf{1} & \bf{1} & \bf{1} & \bf{1} \\\hdashline \bf{16} & \bf{8} & \bf{4} & \bf{2} & \bf{1} & \bf{9} \\\hdashline \bf{81} & \bf{27} & \bf{9} & \bf{3} & \bf{1} & \bf{36} \\\hdashline \bf{256} & \bf{64} & \bf{16} & \bf{4} & \bf{1} & \bf{100} \\\hdashline \bf{625} & \bf{125} & \bf{25} & \bf{5} & \bf{1} & \bf{225} \\\hdashline \end{array}} && {\begin{array}{:c:c:} \hdashline\bf{1} & \bf{1} & \bf{1} & \bf{1} & \bf{1} & \bf{1} \\\hdashline \bf{15} & \bf{7} & \bf{3} & \bf{1} & \bf{0} & \bf{8} \\\hdashline \bf{50} & \bf{12} & \bf{2} & \bf{0} & \bf{0} & \bf{19} \\\hdashline \bf{60} & \bf{6} & \bf{0} & \bf{0} & \bf{0} & \bf{18} \\\hdashline \bf{24} & \bf{0} & \bf{0} & \bf{0} & \bf{0} & \bf{6} \\\hdashline \end{array}} \end{array}

    Odtiaľ postupným dosadzovaním dostávame $\;\bf{a_4 = 1/4, \; a_3 = 2/4,\; a_2 = 1/4,\; a_1=0,\;a_0 =0}$.