MATEMATICKÁ ČÍTANKA

Obsah

3.3 Sústavy lineárnych rovníc trochu inak. [1]

Príklad 3.

Napíšte s použitím vhodných parametrov všetky také lineárne rovnice (s troma neznámymi), ktorých riešeniami sú usporiadané trojice $\bf{(-1; \; 2 ; \; 0)}$ a $\bf{(-3; \; 0 ; \; 4)}$.

Riešenie

Hľadáme všetky rovnice $\bf{ax + by + cz + d = 0}$, t. j. také $\bf{a, b, c, d}$ aby platilo: $$\begin{align} \bf{-a + 2b + 0c + d = 0}\\ \bf{-3a + 0b + 4c + d = 0} \end{align}$$

Riešime vlastne sústavu dvoch (homogénnych) lineárnych rovníc o štyroch neznámych. Urobili sme to v 2. hárku zošitu Rovnica.

2. hárok zošitu Rovnica

Dostali sme: $$\begin{align} \bf{a = \frac{4}{3}c + \frac{1}{3}d, } & & \bf{b = \frac{2}{3}c - \frac{1}{3}d } \end{align}$$

Takže všetky rovnice môžeme napísať pomocou parametrov $\bf{c, d}$: $$\bf{\bigg(\frac{4}{3}c + \frac{1}{3}d\bigg)x + \bigg(\frac{2}{3}c - \frac{1}{3}d\bigg)y + cz + d = 0 },$$ alebo po vhodnej úprave: $$\bf{\bbox[yellow, 3px]{(4c + d)x + (2c - d)y + 3cz + 3d = 0} }$$


Príklad 4.

Ivanka zaplatila za pohár džúsu, tri zákusky a sedem chlebíčkov $107 \; Sk$. Druhýkrát v tej istej cukrárni zaplatila za pohár džúsu, štyri zákusky a desať chlebíčkov $148 \; Sk$. Koľko Ivanka platila, ak pre priateľky kúpila dva džúsy, tri zákusky a päť chlebíčkov?

Riešenie

Ak označíme ceny poháru džúsu, zákusku a chlebíčka ako $\bf{x, y, z}$, a hľadanú sumu, ktorú zaplatila za posledný nákup ako $\bf{c}$, tak sa dá informácia poskytnutá v zadaní zapísať ako: $$\begin{align} \bf{1 \cdot x + 3 \cdot y + 7 \cdot z = 107}\\ \bf{1 \cdot x + 4 \cdot y + 10 \cdot z = 148}\\ \bf{2 \cdot x + 3 \cdot y + 5 \cdot z = c}\\ \end{align}$$

Úloha sa dá chápať ako:

  • sústava troch lineárnych rovníc s tromi neznámymi a s parametrom $\bf{c}$. (tým sa budeme zaoberať v kapitole III.4)

  • sústava troch lineárnych rovníc so štyrmi neznámymi: $$\begin{align} \bf{1 \cdot x + 3 \cdot y + 7 \cdot z = 107}\\ \bf{1 \cdot x + 4 \cdot y + 10 \cdot z = 148}\\ \bf{2 \cdot x + 3 \cdot y + 5 \cdot z - 1 \cdot c = 0}\\ \end{align}$$

Túto sme riešili v 2. hárku zošitu MATICE 02 a dostali sme maticu: \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 & 0 & -16 \\ 0 & 1 & 3 & 0 & 41 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & -91 \end{pmatrix}

2. hárok zošitu MATICE 02

Čiže sústavu rovníc: $$\begin{array}{:c:c:} \hdashline\bf{x} & & & & & & = & & \bf{-16} & \bf{+} & \bf{2z}\\ \hdashline&&\bf{y} & & & & \bf{=} & & \bf{41} & \bf{-} & \bf{3z}\\ \hdashline&&&&\bf{c} & & \bf{=} & & \bf{91}\\ \hdashline \end{array}$$

Vidíme, že sústava má nekonečne mnoho riešení, ale cena Ivankinho nákupu je určená jednoznačne, je to $91 \; Sk$.