MATEMATICKÁ ČÍTANKA

Príklad 7.

Vyriešte sústavu lineárnych rovníc: $$\begin{array}{:c:c:} \hdashline\bf{3x_1} & \bf{+} & \bf{4x_2} & \bf{+} & \bf{x_3} & \bf{=} & \bf{6}\\ \hdashline\bf{5x_1} & \bf{+} & \bf{2x_2} & \bf{+} & \bf{7x_3} & \bf{=} & \bf{4}\\ \hdashline\bf{-2x_1} & \bf{+} & \bf{x_2} & \bf{-} & \bf{5x_3} & \bf{=} & \bf{2}\\\hdashline \end{array}$$

Riešenie:

Ak chceme sústavu vyriešiť analogicky ako predchádzajúci príklad, môžeme pred žiakmi zohrať pôsobivú scénku, resp. kúzelnícky výstup. Vedľa sústavy dopíšeme tri stĺpce „tajomných“ čísel: $$\begin{array}{:c:c:l:} \hdashline\bf{3x_1} & \bf{+} & \bf{4x_2} & \bf{+} & \bf{x_3} & \bf{=} & \bf{6} & & \bf{| \cdot (-17)} & & \bf{| \cdot 11} && \bf{| \cdot 9}\\ \hdashline \hdashline\bf{5x_1} & \bf{+} & \bf{2x_2} & \bf{+} & \bf{7x_3} & \bf{=} & \bf{4} & & \bf{| \cdot 21} & & \bf{| \cdot (-13)} && \bf{| \cdot (-11)}\\ \hdashline\bf{-2x_1} & \bf{+} & \bf{x_2} & \bf{-} & \bf{5x_3} & \bf{=} & \bf{2} & & \bf{| \cdot 26} & & \bf{| \cdot (-16)} && \bf{| \cdot (-14)}\\\hdashline \end{array}$$

Ak jednotlivé rovnice najprv vynásobíme číslami z 1. stĺpca a potom ich sčítame, potom ich vynásobíme číslami z 2. stĺpca a opäť ich sčítame a detto urobíme aj s 3. stĺpcom, postupne dostaneme: $$\begin{align} 2x_1 = 34 && 2x_2 = -18 && 2x_3 = -18 \end{align}$$ čiže sústava má jediné riešenie $\bf{17; \; -9; \; -9}$

Príklad 8.

Rozhodnite za akých podmienok má nasledovná sústava rovníc jediné riešenie: $$\begin{array}{:c:c:l:} \hdashline\bf{a_{11}x_1 } & \bf{+} & \bf{a_{12}x_2} & \bf{+} & \bf{a_{13}x_3} & \bf{=} & \bf{b1} \\ \hdashline\bf{a_{21}x_1 } & \bf{+} & \bf{a_{22}x_2} & \bf{+} & \bf{a_{23}x_3} & \bf{=} & \bf{b2} & & \bf{(3)} \\ \hdashline\bf{a_{31}x_1 } & \bf{+} & \bf{a_{32}x_2} & \bf{+} & \bf{a_{33}x_3} & \bf{=} & \bf{b3} \\ \hdashline \end{array}$$

Riešenie:

Podobne ako v predchádzajúcom príklade, budeme rovnice násobiť vhodnými výrazmi $$\begin{array}{:c:c:l:} \hdashline\bf{a_{11}x_1} & \bf{+} & \bf{a_{12}x_2} & \bf{+} & \bf{a_{13}x_3} & \bf{=} & \bf{b_1} & & \bf{| \cdot (a_{22}a_{33}-a_{32}a_{23})} & & \bf{| \cdot (a_{21}a_{33}-a_{31}a_{23})} && \bf{| \cdot (a_{21}a_{32}-a_{31}a_{22})}\\ \hdashline\bf{a_{21}x_1} & \bf{+} & \bf{a_{22}x_2} & \bf{+} & \bf{a_{23}x_3} & \bf{=} & \bf{b_2} & & \bf{| \cdot (a_{12}a_{33}-a_{32}a_{13})} & & \bf{| \cdot (a_{11}a_{33}-a_{31}a_{13})} && \bf{| \cdot (a_{11}a_{32}-a_{31}a_{12})}\\ \hdashline\bf{a_{31}x_1} & \bf{+} & \bf{a_{32}x_2} & \bf{+} & \bf{a_{33}x_3} & \bf{=} & \bf{b_3} & & \bf{| \cdot (a_{12}a_{23}-a_{22}a_{13})} & & \bf{| \cdot (a_{11}a_{23}-a_{21}a_{13})} && \bf{| \cdot (a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12})}\\ \hdashline \end{array}$$ najprv z prvého, potom z druhého a nakoniec z tretieho stĺpca a následne ich sčítame. Získame tak tri rovnice, ktoré budú ako koeficient pri neznámej obsahovať ten istý výraz i keď vždy v inej podobe: $$\begin{align} \bf{(a_{22}a_{33} - a_{32}a_{23}) \cdot a_{11} - (a_{12}a_{33}-a_{32}a_{13}) \cdot a_{21} + (a_{12}a_{23}-a_{22}a_{13}) \cdot a_{31}} && \bf{(4)}\\ \bf{-(a_{21}a_{33} - a_{31}a_{23}) \cdot a_{12} + (a_{11}a_{33}-a_{31}a_{13}) \cdot a_{22} - (a_{11}a_{23}-a_{21}a_{13}) \cdot a_{32}}\\ \bf{(a_{21}a_{32} - a_{31}a_{22}) \cdot a_{13} - (a_{11}a_{32}-a_{31}a_{12}) \cdot a_{23} + (a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12}) \cdot a_{33}}\\ \end{align}$$

Tento výraz, ktorý determinuje riešiteľnosť danej sústavy rovníc budeme opäť nazývať determinant sústavy a označovať symbolom $\bf{D}$, alebo $$\bf{D = \begin{array}{|c:c|} \hdashline a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ \hdashline a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ \hdashline a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ \hdashline \end{array}} $$

Rovnice $(4)$ súčasne naznačujú ako vypočítať jeho hodnotu. Ak si podrobnejšie všimneme výrazy, ktorými sme násobili rovnice, vidíme, že sú to determinanty druhého stupňa (vždy s nejakým znamienkom): $$\begin{array}{:c:c:c:}\hdashline A_{11} = \begin{array}{|c:c|} a_{22} & a_{23}\\\hdashline a_{32} & a_{33} \end{array} & A_{12} = \begin{array}{|c:c|} a_{21} & a_{23}\\\hdashline a_{31} & a_{33} \end{array} & A_{13} = \begin{array}{|c:c|} a_{21} & a_{22}\\\hdashline a_{31} & a_{32} \end{array} \\\hdashline\\\hdashline A_{21} = \begin{array}{|c:c|} a_{12} & a_{13}\\\hdashline a_{32} & a_{33} \end{array} & A_{22} = \begin{array}{|c:c|} a_{11} & a_{13}\\\hdashline a_{31} & a_{31} \end{array} & A_{23} = \begin{array}{|c:c|} a_{11} & a_{12}\\\hdashline a_{31} & a_{32} \end{array} \\\hdashline\\\hdashline A_{31} = \begin{array}{|c:c|} a_{12} & a_{13}\\\hdashline a_{22} & a_{23} \end{array} & A_{32} = \begin{array}{|c:c|} a_{11} & a_{13}\\\hdashline a_{21} & a_{23} \end{array} & A_{33} = \begin{array}{|c:c|} a_{11} & a_{12}\\\hdashline a_{21} & a_{22} \end{array} \\\hdashline\end{array}$$

značili sme ich prirodzeným spôsobom. Determinant $\bf{D_{ij}}$ dostaneme tak, že z pôvodného determinantu $\bf{D}$ sme vyškrtli $\bf{i-ty}$ riadok a $\bf{j-ty}$ stĺpec. Rovnice $(4)$ hovoria, že $$\bf{D = a_{11}A_{11} - a_{21}A_{21} + a_{31}A_{31} = -a_{12}A_{12} + a_{22}A_{22} - a_{32}A_{32} = a_{13}A_{13} - a_{23}A_{23} + a_{33}A_{33}}$$

Ak by sme si všímali výrazy na pravých stranách, našli by sme tam determinanty: $$\begin{array}{:c:c:c:}\hdashline D_{1} = \begin{array}{|c:c|} b_1 & a_{12} & a_{13}\\\hdashline b_2 & a_{22} & a_{23}\\\hdashline b_3 & a_{32} & a_{31} \end{array} & D_{2} = \begin{array}{|c:c|} a_{11} & b_1 & a_{13}\\\hdashline a_{21} & b_2 & a_{23}\\\hdashline a_{31} & b_3 & a_{31} \end{array} & D_{3} = \begin{array}{|c:c|} a_{11} & a_{12} & b_1\\\hdashline a_{21} & a_{22} & b_2\\\hdashline a_{31} & a_{32} & b_3 \end{array} \\\hdashline\end{array}$$

Záverom tohto príkladu môžeme konštatovať:

Ak $\bf{D \neq 0}$, tak sústava $(3)$ má jediné riešenie $\bf{x_i = \frac{D_i}{D}}$