MATEMATICKÁ ČÍTANKA

Obsah

3.3 Sústavy lineárnych rovníc trochu inak. [1]

O užitočnosti pojmu determinant svedčia príklady takéhoto druhu:

Príklad 8.

Vyriešte sústavu rovníc s parametrom $\bf{a}$: $$\begin{array}{:c:c:} \hdashline\bf{ax_1} & \bf{+} & \bf{2x_2} & \bf{+} & \bf{3x_3} & \bf{=} & \bf{a}\\ \hdashline\bf{ax_1} & \bf{+} & \bf{ax_2} & \bf{+} & \bf{3x_3} & \bf{=} & \bf{a}\\ \hdashline\bf{ax_1} & \bf{+} & \bf{ax_2} & \bf{+} & \bf{ax_3} & \bf{=} & \bf{a}\\\hdashline \end{array}$$

Riešenie:

Vypočítame postupne determinanty $\bf{D, D_1, D_2, D_3}$: \begin{array}{cc} {\begin{array}{|c:c|} \hdashline\bf{a} & \bf{2} & \bf{3} \\ \hdashline\bf{a} & \bf{a} & \bf{3} \\ \hdashline\bf{a} & \bf{a} & \bf{a} \\\hdashline \end{array}} &{\begin{array}{|c:c|} \hdashline\bf{a} & \bf{2} & \bf{3} \\ \hdashline\bf{a} & \bf{a} & \bf{3} \\ \hdashline\bf{a} & \bf{a} & \bf{a} \\\hdashline \end{array}} &{\begin{array}{|c:c|} \hdashline\bf{a} & \bf{a} & \bf{3} \\ \hdashline\bf{a} & \bf{a} & \bf{3} \\ \hdashline\bf{a} & \bf{a} & \bf{a} \\\hdashline \end{array}} &{\begin{array}{|c:c|} \hdashline\bf{a} & \bf{2} & \bf{a} \\ \hdashline\bf{a} & \bf{a} & \bf{a} \\ \hdashline\bf{a} & \bf{a} & \bf{a} \\\hdashline \end{array}} \end{array}

Dostávame: $$\bf{D = a^3 - 5a^2 + 6a = a(a-2)(a-3), \; D_1 = D, \; D_2 = 0, \; D_3 =0}$$

Preto pre $\bf{a \in R \backslash \{0; \; 2; \; 3\}}$ má sústava jediné riešenie $\bf{(1; \; 0; \; 0)}$.

\begin{array}{cc} \text{Pre} \; \bf{a = 0} \; \text{dostávame sústavu:} & \text{Pre} \; \bf{a = 2} \; \text{dostávame sústavu:} & \text{Pre} \; \bf{a = 3} \; \text{dostávame sústavu:} \\ {\begin{array}{:c:c:} \hdashline\bf{2x_2} & \bf{+} & \bf{3x_3} & \bf{=} & \bf{0} \\ \hdashline & & \bf{3x_3} & \bf{=} & \bf{0} \\\hdashline \end{array}} &{\begin{array}{:c:c:} \hdashline\bf{2x_1} & \bf{+} & \bf{2x_2} & \bf{+} & \bf{3x_3} & \bf{=} & \bf{2} \\ \hdashline \bf{2x_1} & \bf{+} & \bf{2x_2} & \bf{+} & \bf{2x_3} & \bf{=} & \bf{2} \\\hdashline \end{array}} &{\begin{array}{:c:c:} \hdashline\bf{3x_1} & \bf{+} & \bf{2x_2} & \bf{+} & \bf{3x_3} & \bf{=} & \bf{3} \\ \hdashline \bf{3x_1} & \bf{+} & \bf{3x_2} & \bf{+} & \bf{3x_3} & \bf{=} & \bf{3} \\\hdashline \end{array}} \end{array}

Všetky tri sústavy majú nekonečne veľa riešení, ktoré si čitateľ ľahko dopočíta, podobne ako nasledovné úlohy.


Úlohy

  1. Vyriešte nasledovné sústavy rovníc s parametrom $\bf{a}$: \begin{array}{cc} {\begin{array}{:c:c:} \hdashline\bf{ax_1} & \bf{+} & \bf{3x_2} & \bf{+} & \bf{x_3} & \bf{=} & \bf{5}\\ \hdashline\bf{3x_1} & \bf{+} & \bf{x_2} & \bf{+} & \bf{3x_3} & \bf{=} & \bf{7}\\ \hdashline\bf{x_1} & \bf{+} & \bf{3x_2} & \bf{+} & \bf{ax_3} & \bf{=} & \bf{5}\\\hdashline \end{array}} & {\begin{array}{:c:c:} \hdashline\bf{ax_1} & \bf{+} & \bf{3x_2} & \bf{+} & \bf{x_3} & \bf{=} & \bf{21}\\ \hdashline\bf{3x_1} & \bf{+} & \bf{x_2} & \bf{+} & \bf{3x_3} & \bf{=} & \bf{7}\\ \hdashline\bf{x_1} & \bf{+} & \bf{3x_2} & \bf{+} & \bf{ax_3} & \bf{=} & \bf{21}\\\hdashline \end{array}} \end{array}


Príklad 9.

Nájdite všetky lineárne rovnice (s dvoma neznámymi), ktoré majú ako jedno riešenie usporiadanú dvojicu $\bf{(x_0 , y_0)}$. (Pozri tiež riešenie úlohy 2.)

Riešenie

Zvolíme postup iný postup ako v príklade 3. Najprv si uvedomme, že podmienky zadania iste spĺňajú tieto dve rovnice: \begin{array}{cc} \bf{x} & & \bf{=} & \bf{x_0} && \bf{(^*)}\\ & \bf{y} & \bf{=} & \bf{y_0} && \bf{(^{**})}\\ \end{array}

Ďalej si uvedomme, že pre ľubovoľné reálne $\bf{p, q}$ (nie súčasne rovné nule) je dvojica $\bf{(x_0 , y_0 )}$ riešením rovnice: $$\bf{\bbox[yellow, 3px]{p \cdot x + q \cdot y = p \cdot x_0 + q \cdot y_0} \qquad (^{***}) }$$

Poznámka 1.

Namiesto rovníc $\bf{(^*)}$ a $\bf{(^{**})}$ sme mohli zobrať ľubovoľné dve rovnice, ktorých riešením je usporiadaná dvojica $\bf{(x_0 , y_0 )}$.

Poznámka 2.

Uvedomme si, že nevieme, či sme našli skutočne všetky rovnice, ktorých riešením je dvojica $\bf{(x_0 , y_0 )}$.

  1. Vyriešte sústavu rovníc s parametrom $\bf{a}$: \begin{array}{rr} \bf{(a-1)x} & \bf{+} & \bf{2y} & \bf{+} & \bf{3.5z} & \bf{=} & \bf{0.5}\\ \bf{x} & \bf{+} & \bf{ay} & \bf{+} & \bf{2z} & \bf{=} & \bf{-1}\\ & & \bf{4y} & \bf{+} & \bf{(a+1)z} & \bf{=} & \bf{1}\\ \end{array}

  2. Vyriešte sústavu rovníc s parametrom $\bf{a}$: \begin{array}{rr} \bf{ax} & \bf{+} & \bf{y} & \bf{+} & \bf{2z} & \bf{=} & \bf{4}\\ \bf{x} & \bf{+} & \bf{2y} & \bf{+} & \bf{az} & \bf{=} & \bf{4}\\ \bf{(4a - 3 x)}& \bf{-} & \bf{2y} & \bf{+} & \bf{(8-3a)z} & \bf{=} & \bf{4}\\ \end{array}