Motto
Za väčšinu toho čo viem, vďačím svojim žiakom.
Nech $\bf{(3-2r + s; \; -7 + 3r + s; \; 3 - 2r +s)}$ sú všetky riešenia lineárnej rovnice $(+)$ a nech $\bf{(2+7u+3v; \; 3-2u+2v; \; 2+7u)}$ sú všetky riešenia lineárnej rovnice $(++)$. Určte riešenie sústavy rovníc $(+)$ a $(++)$.
Pri riešení sústav lineárnych rovníc mnohokrát nepotrebujeme poznať riešenie, ale len fakt, či riešenie existuje (a ak áno či je jediné), alebo neexistuje. V predchádzajúcej kapitole opisovaná „zotieracia„ metóda toto neumožňuje. Zvoľme preto inú cestu:
Vyriešte (v množine reálnych čísel) rovnicu: $\bf{ax = 5 \qquad (1)}$
Máme vlastne vyriešiť všetky lineárne rovnice s jednou neznámou napísané naraz pomocou parametrov $\bf{a, b}$. O kvalite riešenia rozhoduje nenulovosť parametra $\bf{a}$. Ak bude $\bf{a \neq 0}$, tak bude mať rovnica $\bf{(1)}$ práve jedno riešenie $\bf{\bigg\{\frac{b}{a}\bigg\}}$. V prípade, že $\bf{a = 0}$ , rovnica buď nebude mať riešenie – to v prípade že $\bf{b \neq 0}$, alebo bude riešením každé reálne číslo, ak bude $\bf{b = 0}$.
Vidíme, že parameter, ktorý rozhoduje o riešiteľnosti rovnice, ktorý determinuje kvalitu riešenia je parameter $\bf{a}$.
Rozhodnite za akých podmienok bude mať sústava lineárnych rovníc $$\begin{array}{:c:c:} \hdashline \bf{a_{11}x_1} & \bf{+} & \bf{a_{12}x_2} & \bf{=} & \bf{b_1} & & \bf{(2)}\\ \hdashline \bf{a_{21}x_1} & \bf{+} & \bf{a_{22}x_2} & \bf{=} & \bf{b_2}\\\hdashline \end{array}$$ jediné riešenie.
Pokúsme sa vhodnými číslami prenásobiť jednotlivé rovnice tak, aby po sčítaní vždy jedna z dvoch rovníc „vypadla“. $$\begin{array}{:r:c:l:} \hdashline \bbox[cyan, 3px]{\bf{a_{22}|}} & \bf{a_{11}x_1} & \bf{+} & \bf{a_{12}x_2} & \bf{=} & \bf{b_1} & \bbox[yellow, 3px]{\bf{|-a_{21}}} \\ \hdashline \bbox[cyan, 3px]{\bf{-a_{21}|}} & \bf{a_{21}x_1} & \bf{+} & \bf{a_{22}x_2} & \bf{=} & \bf{b_2} & \bbox[yellow, 3px]{\bf{|a_{11}}} \\\hdashline \end{array}$$
$$\begin{array}{ll} \text{Ak rovnicu vynásobíme číslami „zľava“,} && \text{Ak rovnicu vynásobíme číslami „sprava“,}\\ \text{po sčítaní dostaneme:} && \text{po sčítaní dostaneme:}\\ \bbox[cyan, 3px]{\bf{(a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12})x1 = b_1a_{22} - b_2a_{12}}} && \bbox[yellow, 3px]{\bf{(a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12})x2 = a_{11}b_2 - a_{21}b_1}} \end{array}$$
Vidíme, že o kvalite riešenia rozhoduje, resp. existenciu jediného riešenia determinuje výraz $\bf{a_{11}a_{22} - a_{21}a_{12}}$, ktorý budeme nazývať determinant sústavy $(2)$ a budeme ho označovať symbolom $\bf{\bbox[yellow, 3px]{D}}$. Pre jeho lepšie zapamätanie si (ale aj z iných dôvodov) používame jeho schematický zápis v tvare: $$\bf{D = \begin{vmatrix} a_{1,1} & a_{1,2}\\ a_{2,1} & a_{2,2}\\ \end{vmatrix}} $$
Podobne označíme výrazy $\bf{b_1a_{22}-b_2a_{12} = D_1}$ a $\bf{a_{11}b_2-a_{21}b_1 = D_2}$, alebo : $$\begin{array}{cc}\bf{D_1 = \begin{vmatrix} b_1 & a_{1,2}\\ b_2 & a_{2,2}\\ \end{vmatrix}} & \bf{D_2 = \begin{vmatrix} a_{1,1} & b_1\\ a_{2,1} & b_2\\ \end{vmatrix}} \end{array}$$
Ak $\bf{D \neq 0}$, tak sústava má jediné riešenie: $\bf{x_1=\frac{D_1}{D}, \; x_2 = \frac{D_2}{D} }$.
Ak $\bf{D = 0}$ a aspoň jedno z čísel $\bf{D_1}$ a $\bf{D_2}$ je rôzne od nuly, tak sústava nemá riešenie.
Ak $\bf{D = 0}$ a obe čísla $\bf{D_1}$ aj $\bf{D_2}$ sú rovné nule, tak sústava má nekonečne mnoho riešení.